1. 现有 $ a $、$ b $ 两个小球，分别由 $ \rho_{a}=4\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3} $、$ \rho_{b}=5\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3} $ 两种材料制成，两球质量之比 $ m_{a}:m_{b}=6:5 $，体积之比 $ V_{a}:V_{b}=9:7 $。则下列说法正确的是 $ (\rho_{\mathrm{水}}=1.0\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}) $(
D
)
A.若只有一个球是空心的，则 $ a $ 球是空心的
B.若只有一个球是空心的，则空心球空心部分的体积与实心球的体积之比为 $ 1:6 $
C.若两球均是空心的，$ a $ 球的空心部分体积一定比 $ b $ 球的空心部分体积小
D.若只有一个球是空心的，将空心球的空心部分装上水，则该球实心部分的质量与所加水的质量之比为 $ 30:1 $
答案：1. D 解析：由$\rho=\frac{m}{V}$可得，$a、b$两球实心部分的体积之比$\frac{V_{a实}}{V_{b实}}=\frac{\rho_{a}}{\rho_{b}}=\frac{m_{a}}{m_{b}}×\frac{\rho_{b}}{\rho_{a}}=\frac{6}{5}×\frac{4}{3}=\frac{9}{6}＞\frac{9}{7}$，即$a、b$两球实心部分的体积之比大于两球的体积之比.若只有一个球是空心的，由上述计算可知，$b$球的体积大于其材料的体积，故$b$球一定是空心的，$a$球一定是实心的，故A错误；因两球的体积之比$V_{a}:V_{b}=9:7$，可设$a$球的体积为$9V$，则$b$球的体积为$7V$，由上述计算可知，$b$球材料的体积为$6V$，所以空心球空心部分的体积与实心球的体积之比$V_{b空}:V_{a}=(V_{b}-V_{b实}):V_{a}=(7V-6V):9V=1:9$，故B错误；将空心球的空心部分装上水，则该球实心部分的质量与所加水的质量之比$\frac{m_{b}}{m_{水}}=\frac{\rho_{b}V_{b实}}{\rho_{水}V_{b空}}=\frac{\rho_{b}}{\rho_{水}}×\frac{V_{b实}}{V_{b}-V_{b实}}=\frac{5\ g/cm^{3}}{1.0\ g/cm^{3}}×\frac{6V}{7V-6V}=\frac{30}{1}$，故D正确；若两球均是空心的，因为$\frac{V_{a实}}{V_{b实}}=\frac{3}{2}$，设$a$球材料的体积为$3V'$，$b$球材料的体积为$2V'$，两球的实际体积之比$\frac{V_{a}}{V_{b}}=\frac{3V'+V_{a空}}{2V'+V_{b空}}=\frac{9}{7}$，整理可得$V_{b空}=\frac{7}{9}V_{a空}+\frac{1}{3}V'$，由关系式可知，$a$球的空心部分体积可能比$b$球的空心部分体积大，也可能小，还可能相等，所以无法比较，故C错误.
2. 如图所示，冰块中有一小石块，冰和石块的总质量是 $ 116\ \mathrm{g} $，将冰块放入底面积为 $ 100\ \mathrm{cm}^{2} $ 盛有水的圆柱形容器中，冰块完全沉入水中，这时容器中的水面上升了 $ 1.1\ \mathrm{cm} $，当冰全部熔化后，容器里的水面又下降了 $ 0.1\ \mathrm{cm} $，则冰块中所含石块的质量是
26
$\mathrm{g}$，石块的密度是
$2.6×10^{3}$
$\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$。$ (\rho_{\mathrm{冰}}=0.9\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3},\rho_{\mathrm{水}}=1.0\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}) $
答案：2. 26 $2.6×10^{3}$ 解析：设整个冰块的体积为$V$，其中冰的体积为$V_{1}$、石块的体积为$V_{2}$；冰和石块的总质量为$m$，其中冰的质量为$m_{1}$、石块的质量为$m_{2}$.冰块完全沉入水中，冰化成水后，质量不变，由$\rho=\frac{m}{V}$可得，冰化成水后的体积$V_{化水}=\frac{m_{*}}{\rho_{*}}=\frac{m_{*}}{\rho_{*}}=\frac{\rho_{*}V_{1}}{\rho_{*}}$，由题意可知，冰的体积减去熔化成水后的体积，就是水面下降的体积，所以$V_{1}-V_{化水}=V_{1}-\frac{\rho_{*}V_{1}}{\rho_{*}}=S\Delta h_{2}$，即$V_{1}-\frac{0.9×10^{3}\ kg/m^{3}}{1.0×10^{3}\ kg/m^{3}}V_{1}=100\ cm^{2}×0.1\ cm=10\ cm^{3}$，解得冰的体积$V_{1}=100\ cm^{3}$，则冰的质量$m_{1}=\rho_{*}V_{1}=0.9\ g/cm^{3}×100\ cm^{3}=90\ g$，冰块中所含石块的质量$m_{2}=m-m_{1}=116\ g-90\ g=26\ g$.由题意可得，冰块和石块的总体积$V=S\Delta h_{1}=100\ cm^{2}×1.1\ cm=110\ cm^{3}$，则石块的体积$V_{2}=V-V_{1}=110\ cm^{3}-100\ cm^{3}=10\ cm^{3}$，所以石块的密度$\rho_{石}=\frac{m_{2}}{V_{2}}=\frac{26\ g}{10\ cm^{3}}=2.6\ g/cm^{3}=2.6×10^{3}\ kg/m^{3}$.
易错警示
本题考查密度公式的运用，关键是明确冰的体积减去熔化成水后的体积，就是水面下降的体积.由冰熔化为水时，质量保持不变，但体积减小，以体积的减少量作为等量关系，列出方程，即可求出冰块中冰的体积.利用冰的密度和体积求出冰的质量，总质量减去冰的质量就是石块的质量，总体积减去冰块的体积即为石块的体积，然后利用密度公式即可求出石块的密度.
3. (2025·江苏无锡期中)如图所示，柱形容器内的盐水和冰刚好将容器装满，随着温度升高，冰会开始熔化(图乙中 $ A $ 点)，到完全熔化成水(图乙中 $ B $ 点)，盐水的密度随冰熔化的体积变化的关系如图乙所示。晓晨发现冰完全熔化后液面下降，若加入 $ 20\ \mathrm{g} $ 的水，液面刚好与容器口相平。不考虑水的蒸发，且冰熔化成水与盐水混合后总体积不变，则冰完全熔化成水时减少的体积为
20
$\mathrm{cm}^{3}$；图甲中冰和盐水的总质量为
396
$\mathrm{g}$。(已知冰的密度为 $ 0.9\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3} $，水的密度为 $ 1.0\ \mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3} $)
答案：3. 20 396 解析：冰完全熔化成水时减少的体积$\Delta V=\frac{\Delta m}{\rho_{*}}=\frac{20\ g}{1.0\ g/cm^{3}}=20\ cm^{3}$，因为$V_{*}-V_{水}=\Delta V$，所以$V_{*}=V_{水}+\Delta V$，冰熔化成水后质量不变，则有$m_{*}=m_{水}$，即$\rho_{*}V_{*}=\rho_{水}V_{水}$，代入数据有$0.9\ g/cm^{3}×(V_{水}+20\ cm^{3})=1.0\ g/cm^{3}× V_{水}$，解得$V_{水}=180\ cm^{3}$、$V_{*}=200\ cm^{3}$，由于冰熔化成水后质量不变，所以容器中物质的总质量不变，则$\rho_{盐水}V_{盐水}+\rho_{*}V_{*}=\rho_{盐水2}(V_{盐水}+V_{水})$，代入图乙中的数据有$1.2\ g/cm^{3}× V_{盐水}+0.9\ g/cm^{3}×200\ cm^{3}=1.1\ g/cm^{3}×(V_{盐水}+180\ cm^{3})$，解得$V_{盐水}=180\ cm^{3}$，冰和盐水的总质量$m_{总}=m_{盐水}+m_{*}=\rho_{盐水1}V_{盐水}+\rho_{*}V_{*}=1.2\ g/cm^{3}×180\ cm^{3}+0.9\ g/cm^{3}×200\ cm^{3}=396\ g$
解析：
解：
1. 冰完全熔化成水时减少的体积：
因为加入20g水液面恢复，所以减少的体积$\Delta V = \frac{m_{水}}{\rho_{水}} = \frac{20\ \mathrm{g}}{1.0\ \mathrm{g/cm}^3} = 20\ \mathrm{cm}^3$。
2. 设冰的体积为$V_{冰}$，熔化成水的体积为$V_{水}$，则$V_{冰} - V_{水} = 20\ \mathrm{cm}^3$。
由冰熔化成水质量不变：$\rho_{冰}V_{冰} = \rho_{水}V_{水}$，即$0.9\ \mathrm{g/cm}^3 · V_{冰} = 1.0\ \mathrm{g/cm}^3 · V_{水}$。
联立解得$V_{冰} = 200\ \mathrm{cm}^3$，$V_{水} = 180\ \mathrm{cm}^3$。
3. 设盐水体积为$V_{盐水}$，容器总容积$V = V_{盐水} + V_{冰}$。
冰熔化后，盐水与水总体积$V_{盐水} + V_{水} = V - \Delta V$。
由密度变化：$\rho_{A}V_{盐水} + \rho_{冰}V_{冰} = \rho_{B}(V_{盐水} + V_{水})$。
代入数据：$1.2\ \mathrm{g/cm}^3 · V_{盐水} + 0.9\ \mathrm{g/cm}^3 · 200\ \mathrm{cm}^3 = 1.1\ \mathrm{g/cm}^3 · (V_{盐水} + 180\ \mathrm{cm}^3)$。
解得$V_{盐水} = 180\ \mathrm{cm}^3$。
4. 总质量$m_{总} = \rho_{A}V_{盐水} + \rho_{冰}V_{冰} = 1.2\ \mathrm{g/cm}^3 × 180\ \mathrm{cm}^3 + 0.9\ \mathrm{g/cm}^3 × 200\ \mathrm{cm}^3 = 396\ \mathrm{g}$。
20；396
4. 新趋势
学科融合 白酒的主要成分是水和酒精。目前中国使用白酒的度数表示法称为标准酒度，是指在温度为 $ 20\ ^{\circ}\mathrm{C} $ 的条件下，每 $ 100 $ 毫升白酒中所含酒精的毫升数，酒厂为得到相应的酒度，需将高度白酒与低度白酒进行勾兑(混合)。现有 $ 60 $ 度高度白酒和 $ 20 $ 度低度白酒若干(已知 $ \rho_{\mathrm{酒精}}=0.8×10^{3}\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} $，$ \rho_{\mathrm{水}}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} $，不考虑白酒混合前后的体积变化)，则：
(1)$ 100 $ 毫升的 $ 20 $ 度白酒中所含酒精的体积及 $ 20 $ 度白酒的平均密度分别是多少？
(2)$ 60 $ 度白酒的密度
小于
(选填“大于”“等于”或“小于”)$ 20 $ 度白酒的密度；如果用 $ 60 $ 度和 $ 20 $ 度这两种白酒进行勾兑，获得 $ 1000 $ 毫升 $ 52 $ 度的白酒，则所用 $ 20 $ 度白酒的质量是多少千克？
答案：4. (1)$20\ mL$ $0.96\ g/cm^{3}$ (2)小于 $0.192\ kg$
解析：(1)由题意可知，100毫升的20度白酒中所含酒精的体积$V_{酒精}=20\ mL$；100毫升的20度白酒中，水的体积$V_{水}=100\ mL - 20\ mL = 80\ mL = 80\ cm^{3}$，水的质量$m_{水}=\rho_{水}V_{水}=1.0\ g/cm^{3}×80\ cm^{3}=80\ g$，酒精的质量$m_{酒精}=\rho_{酒精}V_{酒精}=0.8\ g/cm^{3}×20\ cm^{3}=16\ g$，100毫升的20度白酒的质量$m = m_{水}+m_{酒精}=80\ g + 16\ g = 96\ g$，则20度白酒的平均密度$\rho=\frac{m}{V}=\frac{96\ g}{100\ cm^{3}}=0.96\ g/cm^{3}$.(2)$\rho_{酒精}＜\rho_{水}$，体积相等的60度白酒比20度白酒所含酒精多，密度小；设勾兑1000毫升52度的白酒，需要20度白酒的体积为$V_{20}$，则需要60度白酒的体积为$1000\ mL - V_{20}$，1000毫升52度的白酒中酒精的体积为$\frac{20}{100}× V_{20}+\frac{60}{100}×(1000\ mL - V_{20})=\frac{52}{100}×1000\ mL = 520\ mL$，解得$V_{20}=200\ mL = 200\ cm^{3}$，所用20度白酒的质量$m_{20}=\rho V_{20}=0.96\ g/cm^{3}×200\ cm^{3}=192\ g = 0.192\ kg$.
