典例1 小明在用“描点法”画二次函数的图像时，列出了以下表格：
但是部分数据已经遗忘(如表所示)，小明只记得遗忘的三个数$a$，$b$，$c$中有两个数相同。根据以上信息，小明探究的二次函数表达式可能是 (
B
)
A.$y = x^2 - 3x - 2$
B.$y = \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}x - \frac{9}{2}$
C.$y = 2x^2 - 5x - 1$
D.$y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 3$
答案：【思路分析】设小明探究的二次函数表达式为$y = mx^2 + nx + p$。把点$(1, -4)$，$(2, -3)$分别代入$y = mx^2 + nx + p$，得$\begin{cases}m + n + p = -4, \\ 4m + 2n + p = -3,\end{cases}$所以$3m + n = 1$。对于$y = x^2 - 3x - 2$，$3×1 + (-3) = 0$，故选项A不合题意；对于$y = \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}x - \frac{9}{2}$，$3×\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1$；对于$y = 2x^2 - 5x - 1$，$3×2 + (-5) = 1$；对于$y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 3$，$3×\frac{1}{2} + (-\frac{3}{2}) = 0$，故选项D不合题意。在$y = \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}x - \frac{9}{2}$中，令$x = -1$，得$y = -\frac{9}{2}$，令$x = 0$，得$y = -\frac{9}{2}$，令$x = 3$，得$y = -\frac{3}{2}$，故选项B符合题意；同理验证可知选项C不合题意。
【答案】B
【变式1】 新素养
几何直观 (2025·江苏常州模拟)如图，在平面直角坐标系中，正六边形$ABCDEF$的边长为$2$，它的中心与原点$O$重合，对角线$BE$在$x$轴上。若抛物线$y = ax^2 + bx + c$($a ＞ 0$，$b ＞ 0$)经过正六边形的三个顶点，则该抛物线的函数表达式为
$y = \frac{2\sqrt{3}}{3}x^{2} + \sqrt{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{3}$
。
答案：$y = \frac{2\sqrt{3}}{3}x^{2} + \sqrt{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{3}$
解析：
解：正六边形边长为2，中心在原点，对角线BE在x轴上。
顶点坐标：
$ B(-2,0) $，$ E(2,0) $
$ A(-1,\sqrt{3}) $，$ F(1,\sqrt{3}) $
$ C(-1,-\sqrt{3}) $，$ D(1,-\sqrt{3}) $
抛物线$ y=ax^2+bx+c $（$ a＞0 $，$ b＞0 $）经过$ B(-2,0) $、$ C(-1,-\sqrt{3}) $、$ D(1,-\sqrt{3}) $。
代入得：
1. $ 4a - 2b + c = 0 $
2. $ a - b + c = -\sqrt{3} $
3. $ a + b + c = -\sqrt{3} $
由2、3得$ b=0 $（舍），改选$ B(-2,0) $、$ A(-1,\sqrt{3}) $、$ F(1,\sqrt{3}) $：
1. $ 4a - 2b + c = 0 $
2. $ a - b + c = \sqrt{3} $
3. $ a + b + c = \sqrt{3} $
由2、3得$ b=0 $（舍），再选$ E(2,0) $、$ A(-1,\sqrt{3}) $、$ D(1,-\sqrt{3}) $：
1. $ 4a + 2b + c = 0 $
2. $ a - b + c = \sqrt{3} $
3. $ a + b + c = -\sqrt{3} $
解得：$ a=\frac{2\sqrt{3}}{3} $，$ b=\sqrt{3} $，$ c=-\frac{2\sqrt{3}}{3} $
函数表达式为$ y = \frac{2\sqrt{3}}{3}x^{2} + \sqrt{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{3} $
$ y = \frac{2\sqrt{3}}{3}x^{2} + \sqrt{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{3} $
