典例2 小颖用计算器探索关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0$的根，作出如图所示的函数$y = ax^2 + bx + c$的图像，并求得方程的一个近似根为$-3.5$，则该方程的另一个近似根为
。(结果精确到$0.1$)
答案：由图像可知，抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 的对称轴为 $x = -1$。
根据对称性，若方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的一个近似根为 $x_1 = -3.5$，设另一个近似根为 $x_2$，则对称轴 $x = -1$ 为两根的中点，即：
$\frac{x_1 + x_2}{2} = -1$。
代入 $x_1 = -3.5$，得：
$\frac{-3.5 + x_2}{2} = -1$。
解这个方程，得到：
$-3.5 + x_2 = -2$。
$x_2 = 1.5$。
则方程的另一个近似根为 $1.5$（或精确到 $0.1$ 为 $1.5$）。
【变式2】 如图，以$(1, -4)$为顶点的二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像与$x$轴负半轴交于点$A(m, 0)$，其中$-3 ＜ m ＜ -2$，则关于$x$的一元二次方程$ax^2 - bx + c = 0$的负数解的取值范围是
$- 5 ＜ x ＜ - 4$
。
答案：$- 5 ＜ x ＜ - 4$
解析：
解：
∵二次函数$y = ax^2 + bx + c$的顶点为$(1, -4)$，
∴其解析式可写为$y = a(x - 1)^2 - 4$。
∵图像与$x$轴负半轴交于点$A(m, 0)$，且$-3 ＜ m ＜ -2$，
∴$0 = a(m - 1)^2 - 4$，即$a = \frac{4}{(m - 1)^2}$。
对于方程$ax^2 - bx + c = 0$，设其对应的二次函数为$y' = ax^2 - bx + c$。
原函数$y = ax^2 + bx + c$与$y'$的图像关于$y$轴对称。
原函数顶点$(1, -4)$关于$y$轴对称的点为$(-1, -4)$，
∴$y'$的顶点为$(-1, -4)$，解析式为$y' = a(x + 1)^2 - 4$。
令$y' = 0$，则$a(x + 1)^2 - 4 = 0$，$(x + 1)^2 = \frac{4}{a} = (m - 1)^2$，
∴$x + 1 = ±(m - 1)$，解得$x = m - 2$或$x = -m$。
∵$-3 ＜ m ＜ -2$，
∴$-3 - 2 ＜ m - 2 ＜ -2 - 2$，即$-5 ＜ m - 2 ＜ -4$；
$2 ＜ -m ＜ 3$（正数解，舍去）。
∴方程$ax^2 - bx + c = 0$的负数解的取值范围是$-5 ＜ x ＜ -4$。
$-5 ＜ x ＜ -4$
典例3 如图，抛物线$y = ax^2 + bx + c$的对称轴是直线$x = -1$，与$x$轴的一个交点为$(-5, 0)$，则关于$x$的不等式$ax^2 + bx + c \leq 0$的解集为
。
答案：∵抛物线对称轴为直线$x = -1$，与$x$轴一个交点为$(-5, 0)$，
∴抛物线与$x$轴另一个交点坐标为$(-1 + [ -1 - (-5) ], 0) = (3, 0)$。
由图像可知抛物线开口向下，
∴不等式$ax^2 + bx + c \leq 0$的解集为$x \leq -5$或$x \geq 3$。
$x \leq -5$或$x \geq 3$
【变式3】 已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图像相交，如图是它们的交点坐标，则关于$x$的不等式$ax^2 + bx + c ＞ \frac{k}{x}$的解集是 (
B
)
A.$1 ＜ x ＜ 4$或$x ＜ -2$
B.$1 ＜ x ＜ 4$或$-2 ＜ x ＜ 0$
C.$0 ＜ x ＜ 1$或$x ＞ 4$或$-2 ＜ x ＜ 0$
D.$-2 ＜ x ＜ 1$或$x ＞ -4$
答案：B
解析：
解：由图像可知，二次函数$y = ax^2 + bx + c$与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的交点坐标为$(-2,-2)$、$(1,4)$、$(4,1)$。
当$-2 ＜ x ＜ 0$时，二次函数图像在反比例函数图像上方；当$1 ＜ x ＜ 4$时，二次函数图像在反比例函数图像上方。
所以不等式$ax^2 + bx + c ＞ \frac{k}{x}$的解集是$1 ＜ x ＜ 4$或$-2 ＜ x ＜ 0$。
答案：B
