【变式 3】已知二次函数 $y=-(x + a)^{2}+2a - 1$($a$ 为常数)，当 $a$ 取不同的值时，其图像构成一个“抛物线系”.如图所示的是当 $a$ 取四个不同数值时此二次函数的图像.发现它们的顶点在同一条直线上，则该直线的函数表达式为
$y = -2x - 1$
.
答案：【变式3】$y = -2x - 1$
解析：
解：二次函数$y=-(x + a)^{2}+2a - 1$的顶点坐标为$(-a, 2a - 1)$。
设顶点坐标为$(x, y)$，则$x=-a$，$y=2a - 1$。
由$x=-a$得$a=-x$，代入$y=2a - 1$，得$y=2(-x)-1=-2x - 1$。
故该直线的函数表达式为$y=-2x - 1$。
典例 4 新素养
推理能力 若点 $P(m,n)$ 在以 $y$ 轴为对称轴的二次函数 $y = x^{2}+ax + 4$ 的图像上，则 $m - n$ 的最大值为(
)
A.$\frac{15}{4}$
B.$4$
C.$-\frac{15}{4}$
D.$-\frac{17}{4}$
答案：【思路分析】因为二次函数 $y = x^{2}+ax + 4$ 图像的对称轴为 $y$ 轴，所以 $-\frac{a}{2}=0$，解得 $a = 0$，所以该二次函数的表达式为 $y = x^{2}+4$.因为点 $P(m,n)$ 在该二次函数的图像上，所以 $n = m^{2}+4$，所以 $m - n = m-(m^{2}+4)=-(m-\frac{1}{2})^{2}-\frac{15}{4}$.因为 $-1＜0$，所以当 $m=\frac{1}{2}$ 时，$m - n$ 取最大值 $-\frac{15}{4}$.
【答案】$C$
【变式 4】(2025·江苏无锡模拟)已知实数 $m$，$n$ 满足 $m - n^{2}=1$，求代数式 $m^{2}+2n^{2}+4m - 1$ 的最小值.
答案：【变式4】因为$m - n^2 = 1$，所以$n^2 = m - 1 \geq 0$，所以$m \geq 1$。把$n^2 = m - 1$代入$m^2 + 2n^2 + 4m - 1$，得$m^2 + 2(m - 1) + 4m - 1 = m^2 + 6m - 3 = (m + 3)^2 - 12$。令$y = (m + 3)^2 - 12$，因为$m \geq 1$，且当$m ＞ -3$时，$y$随$m$增大而增大，所以当$m = 1$时，$y$取最小值，且最小值为$(1 + 3)^2 - 12 = 4$，即代数式$m^2 + 2n^2 + 4m - 1$的最小值为4。
解析：
因为$m - n^2 = 1$，所以$n^2 = m - 1$。
由于$n^2 \geq 0$，则$m - 1 \geq 0$，即$m \geq 1$。
将$n^2 = m - 1$代入代数式$m^2 + 2n^2 + 4m - 1$，可得：
$\begin{aligned}m^2 + 2(m - 1) + 4m - 1&=m^2 + 2m - 2 + 4m - 1\\&=m^2 + 6m - 3\\&=(m + 3)^2 - 12\end{aligned}$
设$y=(m + 3)^2 - 12$，因为$m \geq 1$，且二次函数$y=(m + 3)^2 - 12$的对称轴为$m=-3$，当$m ＞ -3$时，$y$随$m$的增大而增大，所以当$m = 1$时，$y$取得最小值。
此时$y=(1 + 3)^2 - 12 = 16 - 12 = 4$，即代数式$m^2 + 2n^2 + 4m - 1$的最小值为$4$。
