7. (3分)上分点二如图，在△ABC中，∠B=45°，tan C=$\frac{2}{3}$，AB=4$\sqrt{2}$，则△ABC的面积是(
D
)
A.12
B.16
C.12$\sqrt{2}$
D.20
答案：7.D
解析：
解：过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle B = 45°$，$AB = 4\sqrt{2}$，
$\sin 45°=\frac{AD}{AB}$，$\cos 45°=\frac{BD}{AB}$，
$\therefore AD = AB · \sin 45°=4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=4$，
$BD = AB · \cos 45°=4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=4$。
在$Rt\triangle ADC$中，$\tan C=\frac{AD}{DC}=\frac{2}{3}$，$AD = 4$，
$\therefore \frac{4}{DC}=\frac{2}{3}$，解得$DC = 6$。
$\therefore BC=BD + DC=4 + 6=10$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×10×4 = 20$。
答案：D
8. (2025·江苏连云港模拟·3分)如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=$\sqrt{6}$，CE平分∠ACB交AB于点E，则CE的长为(
B
)
A.$\sqrt{3}+1$
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
答案：8.B
解析：
解：过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，设$AD = x$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ABD$中，$\angle B = 45°$，$\therefore BD = AD = x$，$AB=\sqrt{AD^2 + BD^2}=\sqrt{2}x$。
$\because AB = \sqrt{6}$，$\therefore \sqrt{2}x=\sqrt{6}$，解得$x = \sqrt{3}$，即$AD = BD=\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ACD$中，$\angle ACB = 60°$，$\tan\angle ACB=\frac{AD}{CD}=\sqrt{3}$，$\therefore CD=\frac{AD}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$，$BC=BD + CD=\sqrt{3}+1$。
$\because CE$平分$\angle ACB$，$\angle ACB = 60°$，$\therefore \angle BCE=30°$。
设$CE = y$，过点$E$作$EF⊥ BC$于点$F$，则$EF=\frac{1}{2}y$，$CF=\frac{\sqrt{3}}{2}y$，$BF=BC - CF=\sqrt{3}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}y$。
在$\mathrm{Rt}\triangle BEF$中，$\angle B = 45°$，$\therefore BF = EF$，即$\sqrt{3}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}y=\frac{1}{2}y$。
解得$y = 2$，即$CE = 2$。
答案：$2$
9. (3分)如图，在平面直角坐标系中，O是原点，矩形OABC的顶点B的坐标为(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE=$\frac{4}{3}$。若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的函数表达式为(
D
)
A.$y=3x$
B.$y=-\frac{3}{4}x+\frac{15}{2}$
C.$y=-2x+11$
D.$y=-2x+12$
答案：9.D 解析：如图，连接OB，AC交于点M，连接AE，BF交于点N，作直线MN，则该直线即为符合条件的直线l，且M，N分别为OB，AE的中点.过点E作EG⊥AB于点G，则∠BGE = 90°.因为四边形OABC是矩形，B(10,4)，所以M(5,2)，AB = OC = 10，BC = OA = 4.因为四边形ABEF是菱形，所以BE = AB = 10.因为tan∠ABE = $\frac{EG}{BG} = \frac{4}{3}$，所以EG = $\frac{4}{3}$BG，所以BE = $\sqrt{BG^{2}+EG^{2}} = \frac{5}{3}$BG，所以BG = $\frac{3}{5}$BE = 6，所以EG = 8，AG = AB - BG = 4，所以点E的横坐标为4，纵坐标为4 + 8 = 12，所以E(4,12).因为A(0,4)，所以N(2,8).设直线l的函数表达式为y = kx + b.把点M(5,2)，N(2,8)分别代入y = kx + b，得$\begin{cases}5k + b = 2\\2k + b = 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2\\b = 12\end{cases}$，所以直线l的函数表达式为y = -2x + 12.
10. (3分)如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点D在边BC上，CD=3，连接AD。若将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为E，则点E到直线BD的距离为
$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
。
答案：10.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
解析：
解：在△ABC中，BC=7，CD=3，
∴BD=BC-CD=7-3=4，
∵AB=4，
∴AB=BD，
∵∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD=4，∠ADB=60°，
∴∠ADC=180°-∠ADB=120°，
由翻折性质得：DE=DC=3，∠ADE=∠ADC=120°，
过点E作EF⊥BC于点F，
则∠EDF=180°-∠ADE-∠ADB=180°-120°-60°=0°，此步骤有误，重新计算∠EDF：
∠ADC=120°，∠ADB=60°，
∴∠EDC=∠ADE - ∠ADC=120° - 120°=0°，错误，正确应为：
∠EDF=180° - ∠ADE=180° - 120°=60°（因为∠ADE=120°，点F在BC上，所以∠EDF=180° - ∠ADE），
在Rt△EDF中，∠EDF=60°，DE=3，
∴EF=DE·sin60°=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
即点E到直线BD的距离为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
11. (3分)上分
点三如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，CD=3，tan∠DBC=$\frac{1}{2}$，点M，N在BD上运动，且MN=$\frac{1}{3}$BD，点E，F分别在边BC，AD上，连接EM，NF。若∠MEC=45°，ME//NF，则ME+NF=
2$\sqrt{2}$
。
答案：11.2$\sqrt{2}$ 解析：如图，过点M作MG⊥BC于点G，过点N作NH⊥AD于点H，则∠BGM = ∠DHN = 90°.因为∠C = 90°，所以tan∠DBC = $\frac{MG}{BG} = \frac{CD}{BC} = \frac{1}{2}$.因为CD = 3，所以BC = 2CD = 6，所以BD = $\sqrt{BC^{2}+CD^{2}} = 3\sqrt{5}$.因为AD//BC，所以∠NDH = ∠DBC，所以tan∠NDH = tan∠DBC = $\frac{1}{2}$，所以$\frac{NH}{DH} = \frac{1}{2}$.设MG = a，NH = b，则BG = 2MG = 2a，DH = 2NH = 2b，所以BM = $\sqrt{BG^{2}+MG^{2}} = \sqrt{5}a$，DN = $\sqrt{DH^{2}+NH^{2}} = \sqrt{5}b$，所以BM + DN = $\sqrt{5}(a + b)$.因为MN = $\frac{1}{3}$BD，所以BM + DN = $\frac{2}{3}$BD = 2$\sqrt{5}$，所以$\sqrt{5}(a + b) = 2\sqrt{5}$，所以a + b = 2.因为∠MEC = 45°，所以∠EMG = 90° - ∠MEC = 45°，所以∠MEC = ∠EMG，所以EG = MG = a，所以ME = $\sqrt{EG^{2}+MG^{2}} = \sqrt{2}a$.因为ME//NF，所以∠NFH = 45°.同理可得NF = $\sqrt{2}b$，所以ME + NF = $\sqrt{2}(a + b) = 2\sqrt{2}$.
12. (2023·山东日照·8分)新素养
推理能力如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE=DE。
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB=10，tan∠BAC=2，求四边形ABCD的面积。
]
答案：12.(1)连接BD，交AC于点O.因为四边形ABCD是平行四边形，所以OB = OD.因为BE = DE，所以点E在BD的垂直平分线上，所以AE垂直平分BD，所以AB = AD，所以四边形ABCD是菱形.
(2)因为AC⊥BD，所以∠AOB = 90°.因为tan∠BAC = 2，所以$\frac{OB}{OA} = 2$.设OA = x，则OB = 2x，所以AB = $\sqrt{OA^{2}+OB^{2}} = \sqrt{5}x$.又AB = 10，所以$\sqrt{5}x = 10$，解得x = 2$\sqrt{5}$，所以OA = 2$\sqrt{5}$，OB = 4$\sqrt{5}$，所以$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2}OA·OB = 20$，所以$S_{四边形ABCD} = 4S_{\triangle OAB} = 80$.故四边形ABCD的面积是80.
