1. (3分)新素养
几何直观如图，将△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C'，A'B'交AC于点E，连接AB'。若AB'平分∠BAC，∠BAC=90°，CE=4，tan∠ACB=$\frac{3}{4}$，则BB'的长为(
B
)
A.3
B.$\frac{15}{4}$
C.5
D.$\frac{35}{4}$
答案：1.B
解析：
解：设 $ BB' = x $，由平移性质得 $ A'B' // AB $，$ A'B' = AB $，$ B'C = BC - x $。
在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle BAC = 90° $，$ \tan \angle ACB = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4} $，设 $ AB = 3k $，$ AC = 4k $。
$ AB' $ 平分 $ \angle BAC $，则 $ \angle B'AC = 45° $。
$ A'B' // AB $，故 $ \angle EB'C = \angle ABC $，$ \triangle EB'C ∼ \triangle ABC $，$ \frac{EC}{AC} = \frac{B'C}{BC} $。
$ EC = 4 $，$ AC = 4k $，则 $ AE = 4k - 4 $。
$ \tan \angle ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3} $，$ \tan \angle EB'C = \frac{EC}{EB'} = \frac{4}{3} $，$ EB' = 3 $。
$ A'E = A'B' - EB' = 3k - 3 $。
$ A'B' // AB $，$ \angle EA'B' = \angle BAC = 90° $，$ \angle EAB' = 45° $，$ \triangle A'EA $ 中 $ A'E = AE $。
即 $ 3k - 3 = 4k - 4 $，解得 $ k = 1 $，$ AC = 4 $，$ BC = 5 $。
$ \frac{EC}{AC} = \frac{B'C}{BC} \Rightarrow \frac{4}{4} = \frac{5 - x}{5} \Rightarrow 5 - x = 5 × 1 \Rightarrow x = \frac{15}{4} $。
答案：$\boxed{B}$
2. (2025·江苏徐州模拟·3分)如图，在△ABC中，AC=8，∠ABC=60°，∠C=45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为(
C
)
A.$\frac{4\sqrt{2}}{3}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\frac{8\sqrt{2}}{3}$
D.$3\sqrt{2}$
答案：2.C
解析：
解：在△ADC中，∠ADC=90°，∠C=45°，AC=8，
∴AD=AC·sin45°=8×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4$\sqrt{2}$，
CD=AC·cos45°=4$\sqrt{2}$。
在△ABD中，∠ADB=90°，∠ABC=60°，设BD=x，
则AD=BD·tan60°=$\sqrt{3}$x，
∴$\sqrt{3}$x=4$\sqrt{2}$，解得x=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，即BD=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$。
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBD=30°。
在△EBD中，∠EDB=90°，∠EBD=30°，
∴ED=BD·tan30°=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$。
∴AE=AD-ED=4$\sqrt{2}$-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$。
答案：C
3. (3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点M在线段AC的延长线上，点N在线段BD上，MN经过BC的中点E，MD=MN。若sin A=$\frac{6}{7}$，则$\frac{BN}{DN}$的值为(
A
)
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{3}{7}$
D.$\frac{4}{7}$
答案：3.A 解析：因为BD平分∠ABC，所以∠ABD = ∠CBD.因为MD = MN，所以∠MND = ∠MDN.因为∠MND = ∠CBD + ∠BEN，∠MDN = ∠ABD + ∠A，所以∠BEN = ∠A.又∠EBN = ∠ABD，所以△BEN∽△BAD，所以$\frac{BN}{BD} = \frac{EB}{AB}$.因为E是BC的中点，所以EB = $\frac{1}{2}$BC，所以$\frac{BN}{BD} = \frac{BC}{2AB}$.因为∠ACB = 90°，sin A = $\frac{BC}{AB} = \frac{6}{7}$，所以$\frac{BN}{BD} = \frac{3}{7}$，所以$\frac{BN}{DN} = \frac{3}{4}$.
4. (3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，D，E分别是边BC，AB上的点，DE⊥AB。若sin B=$\frac{4}{5}$，AC=8，CD=2，则DE的长为
3.2
。
答案：4.3.2
解析：
解：在△ABC中，∠C=90°，sin B=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，AC=8，
∴$\frac{8}{AB}$=$\frac{4}{5}$，解得AB=10。
由勾股定理得，BC=$\sqrt{AB^2 - AC^2}$=$\sqrt{10^2 - 8^2}$=6。
∵CD=2，
∴BD=BC - CD=6 - 2=4。
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°=∠C，
又∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BD}{BA}$，即$\frac{DE}{8}$=$\frac{4}{10}$，解得DE=3.2。
5. (3分)亮点原创如图，△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，点E在边AB上，过点E作EM//BC交AC于点M，N为CM的中点，连接EN并延长交BC的延长线于点D，过点D作DF⊥DE交
EM的延长线于点F。若∠F=60°，DE=10，则CD的长为
$\frac{5\sqrt{3}-5}{2}$
。
答案：5.$\frac{5\sqrt{3}-5}{2}$ 解析：因为DF⊥DE，所以∠EDF = 90°.因为∠F = 60°，所以∠DEF = 90° - ∠F = 30°.因为EF//BD，所以∠AEM = ∠B = 90°，∠BDE = ∠DEF = 30°.因为DE = 10，所以BE = DE·sin∠BDE = 5，BD = DE·cos∠BDE = 5$\sqrt{3}$.设CD = x，则AB = BC = BD - CD = 5$\sqrt{3}-x$.因为EM//CD，所以∠MEN = ∠CDN，∠EMN = ∠DCN，所以△MEN∽△CDN，所以$\frac{ME}{CD} = \frac{MN}{CN}$.因为N为CM的中点，所以MN = CN，所以ME = CD = x.因为∠A = ∠ACB = $\frac{1}{2}$(180° - ∠B) = 45°，所以∠AME = 90° - ∠A = 45°，所以∠A = ∠AME，所以AE = ME = x，所以AB = AE + BE = x + 5，所以5$\sqrt{3}-x = x + 5$，解得x = $\frac{5\sqrt{3}-5}{2}$，即CD的长为$\frac{5\sqrt{3}-5}{2}$.
解析：
解：
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°．
∵∠F=60°，
∴∠DEF=90°-∠F=30°．
∵EF//BD，
∴∠BDE=∠DEF=30°，∠AEM=∠B=90°．
∵DE=10，
∴BE=DE·sin∠BDE=10×sin30°=5，BD=DE·cos∠BDE=10×cos30°=5√3．
设CD=x，则BC=BD-CD=5√3 - x．
∵△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，
∴AB=BC=5√3 - x．
∵EM//CD，N为CM中点，
∴∠MEN=∠CDN，∠EMN=∠DCN，MN=CN．
∴△MEN≌△CDN（AAS），
∴ME=CD=x．
∵EM//BC，∠ACB=45°，
∴∠AME=∠ACB=45°，又∠AEM=90°，
∴△AEM为等腰直角三角形，AE=ME=x．
∵AB=AE+BE，
∴5√3 - x = x + 5，解得x=(5√3 - 5)/2．
即CD的长为(5√3 - 5)/2．
6. (7分)上分点一如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB交于点H，E，HD=1，AH=$\sqrt{15}$。
(1)求AC的长；
(2)求sin B的值。
]
答案：6.(1)因为AE⊥CD，所以∠AHC = ∠AHD = 90°.因为HD = 1，AH = $\sqrt{15}$，所以AD = $\sqrt{HD^{2}+AH^{2}} = 4$.因为CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，所以CD = AD = $\frac{1}{2}$AB = 4，所以CH = CD - HD = 3，所以AC = $\sqrt{AH^{2}+CH^{2}} = 2\sqrt{6}$.
(2)因为AD = 4，所以AB = 2AD = 8.因为∠ACB = 90°，AC = 2$\sqrt{6}$，所以sin B = $\frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.
