7. (6分)上分点二 亮点原创·在 Rt△ABC 中，∠C=90°，且 -cos A，sin B 恰为关于 x 的一元二次方程$12x^2-nx-3=0$的两个实数根，求 n 及$\tan(\angle B+30°)$的值.
答案：7.因为$\angle C = 90°$，所以$\cos A = \frac{AC}{AB}$，$\sin B = \frac{AC}{AB}$，所以$\cos A = \sin B$，所以$-\cos A + \sin B = 0$.因为$-\cos A$，$\sin B$恰为关于$x$的一元二次方程$12x^2 - nx - 3 =0$的两个实数根，所以$-\cos A + \sin B = \frac{n}{12}$，$-\cos A · \sin B = -\frac{3}{12}$，所以$\frac{n}{12} = 0$，$\sin^2 B = \frac{1}{4}$，所以$n = 0$，$\sin B = \frac{1}{2}$(负值舍去)，所以$\angle B = 30°$，所以$\tan(\angle B + 30°) = \tan60° = \sqrt{3}$.
解析：
在Rt△ABC中，∠C=90°，所以∠A+∠B=90°，则cosA=sinB。
因为 -cosA，sinB是方程12x² - nx - 3=0的两个实数根，根据韦达定理：
-cosA + sinB = n/12，又因为cosA=sinB，所以 -cosA + cosA = 0 = n/12，解得n=0。
且 -cosA·sinB = -3/12 = -1/4，即 -sin²B = -1/4，所以sin²B=1/4，sinB=1/2（∠B为锐角，负值舍去），则∠B=30°。
所以tan(∠B + 30°)=tan(30° + 30°)=tan60°=√3。
综上，n=0，tan(∠B + 30°)=√3。
8. (3分)在计算器上依次输入$\boxed{2ndF}\boxed{\tan}\boxed{3}\boxed{6}\boxed{.}\boxed{7}\boxed{9}\boxed{=}$后，显示屏显示的结果为 88.443 009 64，将这个数据精确到 0.1 后，下列说法正确的是 (
B
)
A.36.79°的正切函数值约为 88.4
B.正切函数值是 36.79 的角约为 88.4°
C.36°79'的正切函数值约为 88.4
D.正切函数值是 36.79 的角约为 88°4'
答案：8.B
解析：
在计算器上，$\boxed{2ndF}\boxed{\tan}$表示反正切函数，即输入的数字是正切值，输出的是对应的角度。输入$\boxed{3}\boxed{6}\boxed{.}\boxed{7}\boxed{9}$，显示屏显示结果为$88.44300964$，精确到$0.1$为$88.4$，所以表示正切函数值是$36.79$的角约为$88.4°$。
B
9. (3分)新素养
几何直观 如图，正方形 ABCD 的面积为 3，点 E 在边 CD 上，且 CE=1，∠ABE 的平分线交 AD 于点 F，M，N 分别是 BE，BF 的中点，则 MN 的长为 (
D
)
A.$\frac{\sqrt{6}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$2-\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
答案：9.D 解析：连接$EF$.因为四边形$ABCD$是面积为$3$的正方形，所以$AB = BC = CD = AD = \sqrt{3}$，$\angle A = \angle ABC = \angle C = \angle D = 90°$.因为$CE = 1$，所以$DE = CD - CE = \sqrt{3} - 1$，$\tan\angle EBC = \frac{CE}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{3}$，所以$\angle EBC = 30°$，所以$\angle ABE = \angle ABC - \angle EBC =60°$.因为$BF$平分$\angle ABE$，所以$\angle ABF = \frac{1}{2}\angle ABE =30°$，所以$AF = AB · \tan\angle ABF = 1$，所以$DF =AD - AF = \sqrt{3} - 1$，所以$EF = \sqrt{DE^2 + DF^2} =\sqrt{6} - \sqrt{2}$.因为$M$，$N$分别是$BE$，$BF$的中点，所以$MN$是$\triangle BEF$的中位线，所以$MN = \frac{1}{2}EF = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$.
10. (3分)如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，AB=$2\sqrt{19}$，则∠A 的度数约为
$23.4°$
.(结果精确到 0.1°)
答案：10.$23.4°$
解析：
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=8$，$AB=2\sqrt{19}$，
$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{2\sqrt{19}}=\frac{4}{\sqrt{19}}=\frac{4\sqrt{19}}{19}\approx0.917$，
$\angle A\approx23.4^{\circ}$。
11. (3分)上分
点三 若锐角 α 满足$\frac{1}{2}＜\cos\alpha＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，则 α 的取值范围为
$45° ＜ \alpha ＜ 60°$
.
答案：11.$45° ＜ \alpha ＜ 60°$
解析：
$45° ＜ \alpha ＜ 60°$
12. (5分)如图，在正方形 ABCD 中，BC=3，E，F 分别是 CB，CD 延长线上的点，连接 AE，AF，DE.若 AE=AF，DF=1，求∠ADE 的度数.（结果精确到 1'）
答案：12.因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AD // BC$，$AB = AD = CD = BC = 3$，$\angle C = \angle ABC =\angle ADC = 90°$，所以$\angle ADE = \angle DEC$，$\angle ABE = \angle ADF = 90°$.在$\mathrm{Rt} \triangle ABE$和$\mathrm{Rt} \triangle ADF$中，$\begin{cases} AE = AF, \\ AB = AD, \end{cases}$所以$\mathrm{Rt} \triangle ABE \cong \mathrm{Rt} \triangle ADF$，所以$BE = DF = 1$，所以$CE = BE + BC = 4$，所以$\tan\angle ADE = \tan\angle DEC = \frac{CD}{CE} = \frac{3}{4}$，所以$\angle ADE \approx 36° 52'$.
解析：
解：
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AD// BC$，$AB = AD = CD = BC = 3$，$\angle C = \angle ABC = \angle ADC = 90°$，
∴$\angle ADE = \angle DEC$，$\angle ABE = \angle ADF = 90°$。
在$\mathrm{Rt}\triangle ABE$和$\mathrm{Rt}\triangle ADF$中，
$\begin{cases} AE = AF \\ AB = AD \end{cases}$，
∴$\mathrm{Rt}\triangle ABE \cong \mathrm{Rt}\triangle ADF$，
∴$BE = DF = 1$，
∴$CE = BE + BC = 1 + 3 = 4$，
在$\mathrm{Rt}\triangle DCE$中，$\tan\angle DEC = \frac{CD}{CE} = \frac{3}{4}$，
∵$\angle ADE = \angle DEC$，
∴$\tan\angle ADE = \frac{3}{4}$，
∴$\angle ADE \approx 36° 52'$。
13. (6分)新素养 推理能力 已知 α，β 均为锐角，且$\tan\alpha=\frac{1}{2}$，$\tan\beta=\frac{1}{3}$，求 α+β 的度数.
答案：13.如图，在$\triangle ABC$中，$AD$，$BE$是高，且$\angle BAD = \alpha$，$\angle CAD = \beta$，则$AD ⊥ BC$，$BE ⊥ AC$，所以$\angle ADB = \angle ADC = \angle AEB = 90°$，所以$\tan \alpha =\frac{BD}{AD} = \frac{1}{2}$，$\tan \beta = \frac{CD}{AD} = \frac{1}{3}$.设$AD = 6a$，则$BD =3a$，$CD = 2a$，所以$BC = BD + CD = 5a$，$AB =\sqrt{AD^2 + BD^2} = 3\sqrt{5}a$，$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} =2\sqrt{10}a$.因为$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC · AD = \frac{1}{2}AC · BE$，所以$BE = \frac{BC · AD}{AC} = \frac{3\sqrt{10}}{2}a$，所以$\sin(\alpha + \beta) =\frac{BE}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$\alpha + \beta = 45°$.
