15. （2023·湖北黄石·14分）新素养 推理能力 我们把方程$x^2 + x - 1 = 0$的正根称为黄金分割数；宽与长的比值是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数.
（1）求黄金分割数；
（2）已知实数$a$，$b$满足$a^2 + ma = 1$，$b^2 - 2mb = 4$，且$b\neq - 2a$，求$ab$的值；
（3）已知两个不相等的实数$p$，$q$满足$p^2 + np - 1 = q$，$q^2 + nq - 1 = p$，求$pq - n$的值.
答案：15. (1) 解方程 x² + x - 1 = 0,得$ x = \frac{-1 ± √5}{2},$所以该方程的正根为$ \frac{√5 - 1}{2},$即黄金分割数为$ \frac{√5 - 1}{2}. (2)$因为 b² - 2mb = 4,所以 b² - 2mb - 4 = 0,所以$ (-\frac{b}{2})² + m·(-\frac{b}{2}) - 1 = 0.$因为 a² + ma = 1,所以 a² + ma - 1 = 0.又 b ≠ -2a,即$ a ≠ -\frac{b}{2},$所以$ a,-\frac{b}{2} $是关于 x 的一元二次方程 x² + mx - 1 = 0 的两个根,所以$ a·(-\frac{b}{2}) = -1,$所以 ab = 2. (3)记 p² + np - 1 = q①,q² + nq - 1 = p②.① + ②,得 (p² + q²) + n(p + q) - 2 = p + q,即 (p + q)² - 2pq + n(p + q) - 2 = p + q③.① - ②,得 (p + q)(p - q) + n(p - q) = -(p - q)④.因为 p,q 为两个不相等的实数,所以 p - q ≠ 0,所以 p + q + n = -1,所以 p + q = -n - 1⑤.把⑤代入 ③,得 (-n - 1)² - 2pq + n(-n - 1) - 2 = -n - 1.整理,得 pq = n,所以 pq - n = 0.
解析：
（1）解方程$x^2 + x - 1 = 0$，判别式$\Delta = 1^2 - 4×1×(-1) = 5$，则$x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$。因为黄金分割数是正根，所以黄金分割数为$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。
（2）由$b^2 - 2mb = 4$得$b^2 - 2mb - 4 = 0$，两边同时除以4得$(-\frac{b}{2})^2 + m(-\frac{b}{2}) - 1 = 0$。又$a^2 + ma - 1 = 0$，且$b \neq -2a$即$a \neq -\frac{b}{2}$，所以$a$和$-\frac{b}{2}$是方程$x^2 + mx - 1 = 0$的两根。根据韦达定理，$a × (-\frac{b}{2}) = -1$，解得$ab = 2$。
（3）已知$p^2 + np - 1 = q$①，$q^2 + nq - 1 = p$②。① - ②得$(p - q)(p + q + n) = -(p - q)$，因为$p \neq q$，所以$p + q + n = -1$，即$p + q = -n - 1$。① + ②得$p^2 + q^2 + n(p + q) - 2 = p + q$，将$p^2 + q^2 = (p + q)^2 - 2pq$代入得$(-n - 1)^2 - 2pq + n(-n - 1) - 2 = -n - 1$，化简得$pq = n$，所以$pq - n = 0$。
16. （2025·江苏镇江模拟·15分）新趋势 推导探究 已知抛物线$y = - 2x^2 + bx + c$经过点$(0,-2)$，当$x ＜ - 4$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x ＞ - 4$时，$y$随$x$的增大而减小.设$r$是抛物线$y = - 2x^2 + bx + c$与$x$轴的交点的横坐标，$m=\frac{r^9 + r^7 - 2r^5 + r^3 + r - 1}{r^9 + 60r^5 - 1}$.
（1）求$b$，$c$的值；
（2）求证：$r^4 - 2r^2 + 1 = 60r^2$；
（3）判断$m$与$1$之间的大小关系，并证明.
答案：16. (1)由题意,得抛物线 y = -2x² + bx + c 的对称轴为直线 x = -4,所以$ -\frac{b}{2×(-2)} = -4,$解得 b = -16.把点(0,-2)代入 y = -2x² + bx + c,得 c = -2. (2)因为 r 是抛物线 y = -2x² - 16x - 2 与 x 轴的交点的横坐标,所以 -2r² - 16r - 2 = 0,所以 r² + 1 = -8r,所以 r⁴ - 2r² + 1 = (r² + 1)² - 4r² = 64r² - 4r² = 60r². (3)m ＞ 1.证明如下：因为 r⁴ - 2r² + 1 = 60r²,所以 (r⁴ - 2r² + 1)r³ = 60r⁵,即 r⁷ - 2r⁵ + r³ = 60r⁵,所以$ \frac{r}{m} = \frac{r⁹ + r⁷ - 2r⁵ + r³ + r - 1}{r⁹ + 60r⁵ - 1} = \frac{r⁹ + 60r⁵ + r - 1}{r⁹ + 60r⁵ - 1} = 1 + \frac{r}{r⁹ + 60r⁵ - 1}.$因为 -8r = r² + 1 ＞ 0,所以 r ＜ 0,所以 r⁹ + 60r⁵ - 1 ＜ 0,所以 \frac{r}{r⁹ + 60r⁵ - 1} ＞ 0,所以$ 1 + \frac{r}{r⁹ + 60r⁵ - 1} ＞ 1,$即 m ＞ 1.
解析：
（1）由题意，抛物线对称轴为直线$x=-4$，则$-\frac{b}{2×(-2)}=-4$，解得$b=-16$。把$(0,-2)$代入$y=-2x^2 + bx + c$，得$c=-2$。
（2）证明：因为$r$是抛物线与$x$轴交点的横坐标，所以$-2r^2 - 16r - 2 = 0$，化简得$r^2 + 1 = -8r$。则$r^4 - 2r^2 + 1=(r^2 + 1)^2 - 4r^2=(-8r)^2 - 4r^2=64r^2 - 4r^2=60r^2$。
（3）$m＞1$。证明如下：由（2）知$r^4 - 2r^2 + 1 = 60r^2$，两边乘$r^3$得$r^7 - 2r^5 + r^3 = 60r^5$。则$m=\frac{r^9 + r^7 - 2r^5 + r^3 + r - 1}{r^9 + 60r^5 - 1}=\frac{r^9 + 60r^5 + r - 1}{r^9 + 60r^5 - 1}=1 + \frac{r}{r^9 + 60r^5 - 1}$。因为$r^2 + 1 = -8r$，且$r^2\geq0$，所以$-8r = r^2 + 1＞0$，即$r＜0$，则$r^9 + 60r^5 - 1＜0$，所以$\frac{r}{r^9 + 60r^5 - 1}＞0$，故$m=1 + \frac{r}{r^9 + 60r^5 - 1}＞1$。
17. （15分）如图，在平面直角坐标系中，$O$是原点，抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 + bx + c$与$x$轴交于$B$，$C$两点，与$y$轴交于点$A(0,-4)$，$OA = 2OB$.
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）$E$是线段$AB$上一点，且$S_{\triangle AOE}=\frac{1}{4}S_{\triangle AOC}$.将抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 + bx + c$沿射线$AB$的方向平移，当抛物线恰好经过点$E$时，停止运动.已知$M$是平移后抛物线对称轴上的动点，$N$是平面直角坐标系中一点，当以$A$，$B$，$M$，$N$四点为顶点的四边形是菱形时，求点$N$的坐标.
答案：17. (1)因为 A(0,-4),所以 OA = 4.因为 OA = 2OB,所以 OB = 2,所以 B(2,0).把点 A(0,-4),B(2,0)分别代入$ y = \frac{1}{2}x² + bx + c,$得$ \begin{cases}c = -4\frac{1}{2}×4 + 2b + c = 0\end{cases} $解得$ \begin{cases}b = 1\\c = -4\end{cases} $所以该抛物线的函数表达式为$ y = \frac{1}{2}x² + x - 4. (2)$在$ y = \frac{1}{2}x² + x - 4 $中,令 y = 0,得$ \frac{1}{2}x² + x - 4 = 0,$解得 x₁ = 2,x₂ = -4,所以 C(-4,0),所以 OC = 4,所以 OC = 2OB,所以 S△AOC = 2S△AOB.因为$ S△AOE = \frac{1}{4}S△AOC,$所以$ S△AOE = \frac{1}{2}S△AOB,$所以 E 是 AB 的中点,所以 E(1,-2).因为抛物线沿射线 AB 方向从点 A(0,-4)平移到点 E(1,-2),所以抛物线向右平移了 1 个单位长度,向上平移了 2 个单位长度.因为抛物线$ y = \frac{1}{2}x² + x - 4 $的对称轴为直线 x = -1,所以平移后抛物线的对称轴为 y 轴.设 M(0,m),N(n,t).因为以 A,B,M,N 四点为顶点的四边形是菱形,所以分类讨论如下：①若 AB 为该菱形的对角线,则 AM² = BM²,所以$ \begin{cases}(m + 4)² = 2² + m²\\-4 = m + t\end{cases} $解得$ \begin{cases}m = -\frac{3}{2}\\n = 2\\t = -\frac{5}{2}\end{cases} $所以点 N 的坐标为$ (2,-\frac{5}{2}); ②$若 AM 为该菱形的对角线,则 AB² = BM²,所以$ \begin{cases}2² + 4² = 2² + m²\\0 = 2 + n\\-4 + m = t\end{cases} ($不合题意,舍去),所以点 N 的坐标为 (-2,0); ③若 AN 为该菱形的对角线,则 AB² = AM²,所以$ \begin{cases}2² + 4² = (m + 4)²\\n= 2\\-4 + t = m\end{cases} $解得$ \begin{cases}m = -4 + 2√5\\n= 2\\t = 2√5\end{cases} $或$ \begin{cases}m = -4 - 2√5\\n= 2\\t = -2√5\end{cases} $综上所述,点 N 的坐标为$ (2,-\frac{5}{2}) $或 (-2,0) 或 (2,2√5) 或 (2,-2√5).
