7. 新素养
几何直观 如图，$\odot O$的直径$AB = 8$，$AM$，$BN$是它的两条切线，$ED$与$\odot O$相切于点$E$，并与$AM$，$BN$分别相交于$D$，$C$两点，$BD$，$OC$相交于点$F$.若$CD = 10$，则$BF$的长是(
A
)
A.$\frac{8\sqrt{17}}{9}$
B.$\frac{10\sqrt{17}}{9}$
C.$\frac{8\sqrt{15}}{9}$
D.$\frac{10\sqrt{15}}{9}$
答案：7. A 解析：过点 O 作 OG//AM 交 BD 于点 G,过点 D 作 DH⊥BC 于点 H,则 ∠BHD = ∠CHD = 90°,△BOG∽△BAD,所以$ \frac{OG}{AD} = \frac{BG}{BD} = \frac{OB}{AB}.$因为$ \frac{OB}{AB} = \frac{1}{2},$所以$ \frac{OG}{AD} = \frac{BG}{BD} = \frac{1}{2}.$因为 AM,BN,CD 是⊙O 的切线,所以 AD = ED,BC = EC,AB⊥AM,AB⊥BN,所以 ∠BAD = ∠ABH = 90°,所以四边形 ABHD 是矩形,所以 DH = AB = 8,AD = BH.设 ED = AD = BH = x,则$ OG = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}x.$因为 CD = 10,所以 BC = EC = CD - ED = 10 - x,所以 CH = BC - BH = 10 - 2x.又 CH = √CD² - DH² = 6,所以 10 - 2x = 6,解得 x = 2,所以 AD = 2,OG = 1,BC = 8.因为 AM//BN,所以 OG//BN,所以 ∠OGF = ∠CBF,∠GOF = ∠BCF,所以 △OGF∽△CBF,所以$ \frac{GF}{BF} = \frac{OG}{BC} = \frac{1}{8},$所以$ BF = \frac{8}{9}BG.$因为 BD = √AB² + AD² = 2√17,所以$ BG = \frac{1}{2}BD = √17,$所以$ BF = \frac{8√17}{9}.$
8. 亮点原创 已知平面直角坐标系中有$A(9,-3)$，$B(9,0)$两点，以原点$O$为位似中心，将线段$AB$缩小为原来的$\frac{1}{3}$，得到线段$A'B'$，则经过$A'$，$B$两点的一次函数表达式为
$y = \frac{1}{6}x - \frac{3}{2} $或$ y = -\frac{1}{12}x + \frac{3}{4}$
.
答案：$8. y = \frac{1}{6}x - \frac{3}{2} $或$ y = -\frac{1}{12}x + \frac{3}{4}$
解析：
解：
∵以原点$O$为位似中心，将线段$AB$缩小为原来的$\frac{1}{3}$，$A(9,-3)$，
∴$A'$的坐标为$(9×\frac{1}{3}, -3×\frac{1}{3})=(3,-1)$或$(9×(-\frac{1}{3}), -3×(-\frac{1}{3}))=(-3,1)$。
当$A'(3,-1)$时，设经过$A'(3,-1)$，$B(9,0)$的一次函数表达式为$y=kx+b$，
则$\begin{cases}3k + b=-1\\9k + b=0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{6}\\b=-\frac{3}{2}\end{cases}$，
函数表达式为$y = \frac{1}{6}x - \frac{3}{2}$。
当$A'(-3,1)$时，设经过$A'(-3,1)$，$B(9,0)$的一次函数表达式为$y=mx + n$，
则$\begin{cases}-3m + n=1\\9m + n=0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}m=-\frac{1}{12}\
=\frac{3}{4}\end{cases}$，
函数表达式为$y = -\frac{1}{12}x + \frac{3}{4}$。
综上，经过$A'$，$B$两点的一次函数表达式为$y = \frac{1}{6}x - \frac{3}{2}$或$y = -\frac{1}{12}x + \frac{3}{4}$。
9. (2025·江苏常州模拟)已知函数$y=\begin{cases}(x - 2)^2 - 2(x\leqslant 4)\\(x - 6)^2 - 2(x ＞ 4)\end{cases}$，则当使$y = a$成立的$x$的值恰好只有$3$个时，$a$的值为 ______ .
答案：9. 2
解析：
当$x \leq 4$时，$y=(x - 2)^2 - 2$，此抛物线开口向上，顶点坐标为$(2,-2)$，对称轴为直线$x=2$，当$x=4$时，$y=(4 - 2)^2 - 2=2$；
当$x ＞ 4$时，$y=(x - 6)^2 - 2$，此抛物线开口向上，顶点坐标为$(6,-2)$，对称轴为直线$x=6$，当$x=4$时，$y=(4 - 6)^2 - 2=2$。
两抛物线顶点均为$(2,-2)$和$(6,-2)$，且在$x=4$处函数值都为$2$。要使$y = a$成立的$x$的值恰好只有$3$个，结合函数图像可知，$a=2$。
2
10. 亮点原创 已知点$M_1$，$M_2$，$M_3$，$···$，$M_{n - 1}(n\geqslant 4$且为整数)为$\triangle ABC$的边$AB$上由点$A$向点$B$依次排列的$n$等分点，过点$M_1$，$M_2$，$M_3$，$···$，$M_{n - 1}$分别作$M_1N_1// BC$交$AC$于点$N_1$，$M_2N_2// BC$交$AC$于点$N_2$，$M_3N_3// BC$交$AC$于点$N_3$，$···$，$M_{n - 1}N_{n - 1}// BC$交$AC$于点$N_{n - 1}$，则$S_{四边形M_1N_1N_2M_2}:S_{四边形M_{n - 1}N_{n - 1}CB}=$
$\frac{3}{2n - 1}$
.(用含$n$的代数式表示)
答案：$10. \frac{3}{2n - 1}$
解析：
设$\triangle ABC$的面积为$S$，$AB$的长度为$AB$。
因为点$M_1$，$M_2$，$···$，$M_{n - 1}$是$AB$的$n$等分点，所以$AM_1=\frac{1}{n}AB$，$AM_2=\frac{2}{n}AB$，$···$，$AM_{n - 1}=\frac{n - 1}{n}AB$。
由于$M_1N_1// BC$，$M_2N_2// BC$，$···$，$M_{n - 1}N_{n - 1}// BC$，根据相似三角形的性质，$\triangle AM_1N_1∼\triangle ABC$，$\triangle AM_2N_2∼\triangle ABC$，$···$，$\triangle AM_{n - 1}N_{n - 1}∼\triangle ABC$。
相似三角形面积比等于相似比的平方，所以：
$S_{\triangle AM_1N_1}=(\frac{AM_1}{AB})^2S=(\frac{1}{n})^2S=\frac{1}{n^2}S$
$S_{\triangle AM_2N_2}=(\frac{AM_2}{AB})^2S=(\frac{2}{n})^2S=\frac{4}{n^2}S$
$···$
$S_{\triangle AM_{n - 1}N_{n - 1}}=(\frac{AM_{n - 1}}{AB})^2S=(\frac{n - 1}{n})^2S=\frac{(n - 1)^2}{n^2}S$
$S_{四边形M_1N_1N_2M_2}=S_{\triangle AM_2N_2}-S_{\triangle AM_1N_1}=\frac{4}{n^2}S - \frac{1}{n^2}S=\frac{3}{n^2}S$
$S_{四边形M_{n - 1}N_{n - 1}CB}=S - S_{\triangle AM_{n - 1}N_{n - 1}}=S - \frac{(n - 1)^2}{n^2}S=\frac{n^2 - (n - 1)^2}{n^2}S=\frac{2n - 1}{n^2}S$
则$S_{四边形M_1N_1N_2M_2}:S_{四边形M_{n - 1}N_{n - 1}CB}=\frac{3}{n^2}S:\frac{2n - 1}{n^2}S=\frac{3}{2n - 1}$
$\frac{3}{2n - 1}$
11. 如图，在$\triangle ABC$中，$BC = 6$，边$BC$上的高为$4$，在$\triangle ABC$的内部作一个矩形$DEFG$，使$EF$在边$BC$上，另外两个顶点分别在边$AB$，$AC$上，则对角线$EG$长的最小值为
$\frac{12√13}{13}$
.
答案：$11. \frac{12√13}{13}$
解析：
解：设矩形$DEFG$的边$DE=GF=x$，$DG=EF=y$，对角线$EG$长为$l$。
过点$A$作$AH⊥ BC$于点$H$，交$DG$于点$I$，则$AH=4$，$IH=x$，$AI=4 - x$。
因为$DG// BC$，所以$\triangle ADG∼\triangle ABC$，则$\frac{DG}{BC}=\frac{AI}{AH}$，即$\frac{y}{6}=\frac{4 - x}{4}$，解得$y=\frac{3}{2}(4 - x)$。
在$Rt\triangle EFG$中，$EG^2=EF^2 + FG^2=y^2 + x^2=[\frac{3}{2}(4 - x)]^2 + x^2=\frac{9}{4}(16 - 8x + x^2) + x^2=\frac{13}{4}x^2 - 18x + 36$。
对于二次函数$l^2=\frac{13}{4}x^2 - 18x + 36$，$a=\frac{13}{4}＞0$，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-18}{2×\frac{13}{4}}=\frac{36}{13}$时，$l^2$取得最小值。
此时$l^2=\frac{13}{4}×(\frac{36}{13})^2 - 18×\frac{36}{13} + 36=\frac{1296}{52}=\frac{324}{13}$，则$l=\sqrt{\frac{324}{13}}=\frac{18\sqrt{13}}{13}$。
$\frac{18\sqrt{13}}{13}$
12. 在矩形$ABCD$中，$AB = 6$，$BC = 8$，点$P$在矩形$ABCD$的内部，点$E$在边$BC$上，满足$\triangle PBE\backsim\triangle DBC$.若$\triangle APD$是等腰三角形，则$PE$的长为
$\frac{6}{5} $或 3
.
答案：$12. \frac{6}{5} $或 3
解析：
以矩形$ABCD$的顶点$B$为原点，$BC$所在直线为$x$轴，$BA$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系。则$B(0,0)$，$C(8,0)$，$D(8,6)$，$A(0,6)$。
设$E(x,0)$，$\triangle PBE\backsim\triangle DBC$，$\frac{PB}{DB}=\frac{BE}{BC}=\frac{PE}{DC}$。$DB=\sqrt{8^2 + 6^2}=10$，$BC=8$，$DC=6$，$\frac{BE}{BC}=\frac{x}{8}$，故$PB=\frac{10x}{8}=\frac{5x}{4}$，$PE=\frac{6x}{8}=\frac{3x}{4}$。点$P$坐标为$(\frac{3x}{5},\frac{4x}{5})$。
$\triangle APD$是等腰三角形，分三种情况：
1. $AP = DP$：$(\frac{3x}{5})^2 + (\frac{4x}{5}-6)^2 = (\frac{3x}{5}-8)^2 + (\frac{4x}{5}-6)^2$，解得$x=4$，$PE=\frac{3×4}{4}=3$。
2. $AP = AD$：$AD=8$，$(\frac{3x}{5})^2 + (\frac{4x}{5}-6)^2 = 64$，方程无实数解。
3. $DP = AD$：$(\frac{3x}{5}-8)^2 + (\frac{4x}{5}-6)^2 = 64$，解得$x=\frac{8}{5}$，$PE=\frac{3×\frac{8}{5}}{4}=\frac{6}{5}$。
综上，$PE$的长为$\frac{6}{5}$或$3$。
13. 如图，将$□ ABCD$绕点$A$逆时针旋转到$□ AB'C'D'$的位置，使点$B'$落在$BC$上，$B'C'$与$CD$交于点$E$.若$AB = 3$，$BC = 4$，$BB' = 1$，则$CE$的长为
$\frac{9}{8}$
.
答案：$13. \frac{9}{8} $解析：因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 ∠ADC = ∠B,AD = BC = 4,CD = AB = 3.由旋转的性质,得 ∠C′ = ∠C,∠D′ = ∠ADC,AB′ = AB = 3,AD′ = AD = 4,B′C′ = BC = 4,C′D′ = CD = 3,∠BAB′ = ∠DAD′,所以 ∠B = ∠D′ = ∠ADD′,所以 △ABB′∽△ADD′,所以$ \frac{BB′}{DD′} = \frac{AB}{AD} = \frac{3}{4}.$因为 BB′ = 1,所以$ DD′ = \frac{4}{3}BB′ = \frac{4}{3},$所以$ DC′ = C′D′ - DD′ = \frac{5}{3}.$因为 ∠C = ∠C′,∠CEB′ = ∠C′ED,所以 △CEB′∽△C′ED,所以$ \frac{B′E}{DE} = \frac{CE}{C′E} = \frac{B′C}{DC′}.$设 C′E = x,CE = y,则 DE = CD - CE = 3 - y,B′E = B′C′ - C′E = 4 - x.因为 B′C = BC - BB′ = 3,所以$ \frac{4 - x}{3 - y} = \frac{y}{x} = \frac{3}{\frac{5}{3}},$解得$ x = \frac{5}{8},y = \frac{9}{8}.$经检验$,x = \frac{5}{8},y = \frac{9}{8} $是原分式方程的解且符合题意.故 CE 的长为$ \frac{9}{8}.$
14. (2023·浙江绍兴)在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于$x$轴的矩形内部(包括边界)，这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：函数$y = (x - 2)^2(0\leqslant x\leqslant 3)$的图像(抛物线中的实线部分)如图所示，它的关联矩形为矩形$OABC$($O$是原点).若二次函数$y=\frac{1}{4}x^2 + bx + c(0\leqslant x\leqslant 3)$图像的关联矩形恰好也是矩形$OABC$，则$b =$
$\frac{7}{12} $或$ -\frac{25}{12}$
.
答案：$14. \frac{7}{12} $或$ -\frac{25}{12} $解析：在 y = (x - 2)² 中,令 x = 0,得 y = 4,所以 C(0,4).因为 A(3,0),四边形 OABC 为矩形,所以 B(3,4).因为$ y = \frac{1}{4}x² + bx + c = \frac{1}{4}(x + 2b)² + c - b²,$所以抛物线$ y = \frac{1}{4}x² + bx + c $开口向上,对称轴为直线 x = -2b.因为二次函数$ y = \frac{1}{4}x² + bx + c(0 ≤ x ≤ 3)$图像的关联矩形恰好也是矩形 OABC,所以分类讨论如下：①当该二次函数的图像经过点 B,O 时$, \begin{cases}\frac{9}{4} + 3b + c = 4\\c = 0\end{cases} $解得$ \begin{cases}b = \frac{7}{12}\\c = 0\end{cases} ②$当该二次函数的图像经过点 A,C 时,得$ \begin{cases}\frac{9}{4} + 3b + c = 0\\c = 4\end{cases} $该方程组无解； ④当该二次函数的图像经过点 B 且与线段 OC(不含端点)相交时$, \begin{cases}\frac{9}{4} + 3b + c = 4\\0 ＜ c ＜ 4\\b² - 4×\frac{1}{4}×c = 0\\-2b ＞0\end{cases} $该方程组无解； ⑤当该二次函数的图像经过点 C 且与线段 AB(不含端点)相交时$, \begin{cases}c = 4\\0 ＜ \frac{9}{4} + 3b + c ＜ 4\\b² - 4×\frac{1}{4}×c = 0\\-2b ＜ 3\end{cases} $综上所述$,b = \frac{7}{12} $或$ -\frac{25}{12}.$
解析：
解：在$y=(x - 2)^2$中，令$x = 0$，得$y = 4$，则$C(0,4)$。由图知$A(3,0)$，因四边形$OABC$为矩形，故$B(3,4)$。
二次函数$y = \frac{1}{4}x^2 + bx + c = \frac{1}{4}(x + 2b)^2 + c - b^2$，开口向上，对称轴为$x=-2b$。
情况一：图像经过点$O$和$B$
$\begin{cases}c = 0\frac{9}{4}+3b + c = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}b=\frac{7}{12}\\c = 0\end{cases}$
情况二：图像经过点$C$和顶点在$AB$上
$\begin{cases}c = 4\\c - b^2 = 0\\-2b ＜ 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}b=-\frac{25}{12}\\c = 4\end{cases}$
综上，$b=\frac{7}{12}$或$-\frac{25}{12}$
$\frac{7}{12}$或$-\frac{25}{12}$
