1. 若$\frac{a}{b + c}=\frac{b}{c + a}=\frac{c}{a + b}$，则$\frac{2a + 2b + c}{a + b - 3c}$
等于(
C
)
A.$-5$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$-5$或$\frac{1}{4}$
D.$-5$或$-\frac{1}{4}$
答案：1. C
解析：
设$\frac{a}{b + c}=\frac{b}{c + a}=\frac{c}{a + b}=k$，则$a = k(b + c)$，$b = k(c + a)$，$c = k(a + b)$。
三式相加得：$a + b + c = 2k(a + b + c)$。
情况一：当$a + b + c \neq 0$时，$2k = 1$，$k=\frac{1}{2}$。
则$a=\frac{1}{2}(b + c)$，$b=\frac{1}{2}(c + a)$，可得$a = b = c$。
$\frac{2a + 2b + c}{a + b - 3c}=\frac{2a + 2a + a}{a + a - 3a}=\frac{5a}{-a}=-5$。
情况二：当$a + b + c = 0$时，$a + b=-c$。
$\frac{2a + 2b + c}{a + b - 3c}=\frac{2(a + b) + c}{(a + b)-3c}=\frac{-2c + c}{-c - 3c}=\frac{-c}{-4c}=\frac{1}{4}$。
综上，值为$-5$或$\frac{1}{4}$。
C
2. 已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像如图所示，点$P$在$x$轴的正半轴上，且$OP = 1$.设$M = ac(a + b + c)$，则$M$的取值范围为(
D
)
A.$M ＜ -1$
B.$-1 ＜ M ＜ 0$
C.$M ＜ 0$
D.$M ＞ 0$
答案：2. D
解析：
解：由图像开口向下得$a ＜ 0$；与$y$轴交于正半轴得$c ＞ 0$；$OP=1$，点$P(1,0)$在图像右侧，当$x=1$时，$y = a + b + c ＜ 0$。
$M = ac(a + b + c)$，$a ＜ 0$，$c ＞ 0$，则$ac ＜ 0$；$a + b + c ＜ 0$，所以$ac(a + b + c) ＞ 0$，即$M ＞ 0$。
D
3. 在同一平面直角坐标系中，有两条抛物线关于$y$轴对称，且它们的顶点与原点的连线互相垂直.若其中一条抛物线的函数表达式为$y = x^2 - 4x + m$，则$m$的值为(
C
)
A.$2$或$-6$
B.$-2$或$6$
C.$2$或$6$
D.$-2$或$-6$
答案：3. C
解析：
将抛物线$y = x^2 - 4x + m$化为顶点式：$y=(x - 2)^2 + m - 4$，其顶点坐标为$(2, m - 4)$。
因为两条抛物线关于$y$轴对称，所以另一条抛物线的顶点坐标为$(-2, m - 4)$。
两条抛物线顶点与原点的连线斜率分别为$k_1=\frac{m - 4}{2}$，$k_2=\frac{m - 4}{-2}$。
由于两连线互相垂直，所以$k_1 · k_2=-1$，即$\frac{m - 4}{2} · \frac{m - 4}{-2}=-1$。
化简得$(m - 4)^2 = 4$，解得$m - 4 = \pm 2$，即$m = 6$或$m = 2$。
答案：C
4. 如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形$ABCD$，过点$D$作$DF$的垂线交$EF$的延长线于点$G$，连接$CG$，延长$BE$交$CG$于点$H$.若$AE = 2BE$，则$\frac{CG}{BH}$的值为(
C
)
A.$\frac{3}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{3\sqrt{10}}{7}$
D.$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
答案：4. C
5. 新素养
推理能力(2024·四川遂宁)如图，已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$的对称轴为直线$x = -1$，且该抛物线与$x$轴交于点$A(1,0)$，与$y$轴的交点$B$在点$(0,-2)$，$(0,-3)$之间(不含端点)，给出下列结论：①$abc ＞ 0$；②$9a - 3b + c ＞ 0$；③$\frac{2}{3} ＜ a ＜ 1$；④若关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = x + 1$的两根分别为$m$，$n(m ＜ n)$，则$-3 ＜ m ＜ 1 ＜ n$.其中正确的个数为(
B
)
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案：5. B
解析：
解：①抛物线开口向上，$a＞0$；对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-1$，则$b=2a＞0$；与$y$轴交点$B$在$(0,-2)$，$(0,-3)$之间，$-3＜c＜-2$，$c＜0$，$\therefore abc＜0$，①错误。
②抛物线与$x$轴交于$A(1,0)$，对称轴$x=-1$，另一交点为$(-3,0)$，当$x=-3$时，$y=0$，$\therefore 9a - 3b + c=0$，②错误。
③由交点$(1,0)$得$a + b + c=0$，$b=2a$，$\therefore c=-3a$，$\because -3＜c＜-2$，$\therefore -3＜-3a＜-2$，解得$\frac{2}{3}＜a＜1$，③正确。
④方程$ax^2 + bx + c = x + 1$即$ax^2 + (b - 1)x + (c - 1)=0$，设$f(x)=ax^2 + bx + c - x - 1=ax^2 + (2a - 1)x + (-3a - 1)$，$f(-3)=9a - 3(2a - 1) - 3a - 1=2＞0$，$f(1)=a + 2a - 1 - 3a - 1=-2＜0$，$f(2)=4a + 2(2a - 1) - 3a - 1=5a - 3$，$\because a＞\frac{2}{3}$，$f(2)＞\frac{10}{3}-3=\frac{1}{3}＞0$，$\therefore$方程两根$m\in(-3,1)$，$n\in(1,2)$，④正确。
综上，正确结论为③④，共2个。
B
6. (2025·江苏南京模拟)如图，在平面直角坐标系中，$O$是原点，点$A$在$x$轴正半轴上，点$B$，$C$在$y$轴正半轴上，且$OA = 6$，$OB = 8$，$BC = 2$，$\odot P$与$OB$，$AB$均相切，$P$是线段$AC$与抛物线$y = ax^2$的交点，则$a$的值为(
D
)
A.$4$
B.$\frac{9}{2}$
C.$\frac{11}{2}$
D.$5$
答案：6. D 解析：连接 BP.设⊙P 的半径为 r,⊙P 与 OB,AB 分别相切于点 M,N,连接 PM,PN,则 PM⊥BC,PN⊥AB,PM = PN = r.因为 ∠AOB = 90°,OA = 6,OB = 8,所以 AB = √OA² + OB² = 10.因为 BC = 2,所以 OC = OB - BC = 6,所以 C(0,6).设直线 AC 的函数表达式为 y = kx + b.把点 A(6,0),C(0,6)分别代入 y = kx + b,得$ \begin{cases}6k + b = 0\\b = 6\end{cases} $解得$ \begin{cases}k = -1\\b = 6\end{cases} $所以直线 AC 的函数表达式为 y = -x + 6.因为 S△ABC = S△ABP + S△BCP,所以$ \frac{1}{2}OA·BC = \frac{1}{2}AB·PN + \frac{1}{2}BC·PM,$即$ \frac{1}{2}×6×2 = \frac{1}{2}×10r + \frac{1}{2}×2r,$解得 r = 1,所以 PM = 1,所以点 P 的横坐标为 1.在 y = -x + 6 中,令 x = 1,得 y = -1 + 6 = 5,所以 P(1,5).把点 P(1,5)代入 y = ax²,得 a = 5.
