3. (13分)如图，AB，CD是⊙O的直径，AE是⊙O的弦，且AE//CD，过点C的⊙O切线与EA的延长线交于点P，连接AC.
(1) 求证：AC平分∠BAP；
(2) 求证：PC²=PA·PE；
(3) 若AE−PA=PC=4，求⊙O的半径.
答案：3.(1) 因为OA = OC,所以∠OCA = ∠OAC.因为AE//CD,所以∠OCA = ∠PAC,所以∠OAC = ∠PAC,所以AC平分∠BAP.
(2) 连接CE,AD.因为CD为⊙O的直径,所以∠CAD = 90°,所以∠DCA + ∠D = 90°.因为PC与⊙O相切于点C,所以OC⊥PC,所以∠PCO = 90°,所以∠PCA + ∠DCA = 90°,所以∠PCA = ∠D = ∠E.又∠APC = ∠CPE,所以△PAC ∽ △PCE,所以$\frac{PA}{PC} = \frac{PC}{PE}$,所以$PC^2 = PA · PE$.
(3) 连接BC.设PA = x.因为AE - PA = PC = 4,所以AE = x + 4,所以PE = PA + AE = 2x + 4.因为$PC^2 = PA · PE$,所以16 = x(2x + 4),解得x = 2(负值舍去),所以PA = 2.因为PC⊥CD,CD//PE,所以PC⊥PE,所以∠APC = 90°,所以$AC = \sqrt{PA^2 + PC^2} = 2\sqrt{5}$.因为AB是⊙O的直径,所以∠ACB = 90°,所以∠APC = ∠ACB.又∠PAC = ∠CAB,所以△PAC ∽ △CAB,所以$\frac{PA}{AC} = \frac{AC}{AB}$,即$\frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{AB}$,所以AB = 10,所以⊙O的半径是$\frac{1}{2} × 10 = 5$.
4. (2025·江苏徐州模拟·13分)新趋势
推导探究如图，已知抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=$\frac{5}{2}$.
(1) 求该抛物线的函数表达式；
(2) 如图①，若Q是抛物线上位于线段BC下方的一个动点(不与点B，C重合)，则当△BCQ的面积最大时，求点Q的坐标；
(3) 如图②，在(2)的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE=2∠ODQ.在y轴上是否存在点F，使△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.
答案：4.(1) 由题意,得$\begin{cases} a + b + 4 = 0, \\ \frac{b}{2a} = \frac{5}{2} \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 1, \\ b = -5, \end{cases}$所以该抛物线的函数表达式为$y = x^2 - 5x + 4$.
(2) 在$y = x^2 - 5x + 4$中,令x = 0,得y = 4,所以C(0,4);令y = 0,得$x^2 - 5x + 4 = 0$,解得$x_1 = 1,x_2 = 4$,所以B(4,0).设直线BC的函数表达式为y = px + q.把点B(4,0),C(0,4)分别代入y = px + q,得$\begin{cases} 4p + q = 0, \\ q = 4, \end{cases}$解得$\begin{cases} p = -1, \\ q = 4, \end{cases}$所以直线BC的函数表达式为y = -x + 4.设Q$(m,m^2 - 5m + 4)(0 ＜ m ＜ 4)$.过点Q作QP//y轴,交BC于点P,则P$(m,-m + 4)$,所以$QP = -m + 4 - (m^2 - 5m + 4) = -m^2 + 4m$,所以$S_{\triangle BCQ} = \frac{1}{2}QP · OB = -2m^2 + 8m = -2(m - 2)^2 + 8$.当m = 2时,$S_{\triangle BCQ}$取最大值,此时点Q的坐标为(2,-2).
(3) 因为C(0,4),D是OC的中点,所以D(0,2).因为QP//y轴,所以∠ODQ = ∠PQD.因为∠DQE = 2∠ODQ,所以∠DQE = 2∠PQD,所以QP平分∠DQE.作点D关于直线QP的对称点D',则点D'在直线QE上.因为Q(2,-2),所以D'(4,2).设直线QE的函数表达式为y = cx + d.把点Q(2,-2),D'(4,2)分别代入y = cx + d,得$\begin{cases} 2c + d = -2, \\ 4c + d = 2, \end{cases}$解得$\begin{cases} c = 2, \\ d = -6, \end{cases}$所以直线QE的函数表达式为y = 2x - 6.联立方程组$\begin{cases} y = 2x - 6, \\ y = x^2 - 5x + 4, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_1 = 2, \\ y_1 = -2, \\ x_2 = 5, \\ y_2 = 4, \end{cases}$所以点E的坐标为(5,4).设F(0,t).因为B(4,0),所以$BE^2 = (5 - 4)^2 + 4^2 = 17,BF^2 = t^2 + 16,EF^2 = (-5)^2 + (t - 4)^2 = t^2 - 8t + 41$.当△BEF为等腰三角形时,分类讨论如下:① 若BF = BE,则$BF^2 = BE^2$,所以$t^2 + 16 = 17$,解得$t_1 = 1,t_2 = -1$,所以点F的坐标为(0,1)或(0,-1);② 若EF = BE,则$EF^2 = BE^2$,所以$t^2 - 8t + 41 = 17$,该方程无解;③ 若BF = EF,则$BF^2 = EF^2$,所以$t^2 + 16 = t^2 - 8t + 41$,解得$t = \frac{25}{8}$,所以点F的坐标为$(0,\frac{25}{8})$.综上所述,在y轴上存在点F,使△BEF为等腰三角形,且点F的坐标为(0,1)或(0,-1)或$(0,\frac{25}{8})$.
