1. 新素养
几何直观 (2023·黑龙江哈尔滨)如图，AC，BD 相交于点 O，AB//DC，M 是 AB 的中点，MN//AC，交 BD 于 N. 若 DO：OB=1：2，AC=12，则 MN 的长为 (
B
)
A.2
B.4
C.6
D.8
答案：B
解析：
证明：
∵AB//DC，
∴△DOC∽△BOA，
∴$\frac{DO}{BO}=\frac{CO}{AO}=\frac{1}{2}$。
∵AC=12，设CO=x，AO=2x，
则x+2x=12，解得x=4，
∴AO=8。
∵M是AB中点，MN//AC，
∴MN是△ABO的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}×8=4$。
答案：B
2. 如图，在平面直角坐标系中，O 是原点，矩形 ABCO 与矩形 ODEF 是位似图形，点 P 是位似中心. 若点 B 的坐标为(2，3)，点 E 的横坐标为-1，则点 P 的坐标为 (
B
)
A.(-3，0)
B.(-2，0)
C.$(-\frac{3}{2},0)$
D.(-1，0)
答案：B
解析：
解：
∵矩形ABCO与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心，
∴点P在x轴上，设P(t,0)。
∵B(2,3)，四边形ABCO是矩形，
∴A(2,0)，C(0,3)。
∵点E的横坐标为-1，四边形ODEF是矩形，
∴D(0, y_D)，E(-1, y_D)。
由位似图形性质，得$\frac{PF}{PA}=\frac{EF}{AB}$，$\frac{PO}{PA}=\frac{OD}{AC}$。
$PF=-1 - t$，$PA=2 - t$，$EF=OD=y_D$，$AB=OC=3$，$AC=OA=2$。
$\frac{-1 - t}{2 - t}=\frac{y_D}{3}$，$\frac{-t}{2 - t}=\frac{y_D}{2}$。
联立解得$t=-2$。
∴点P的坐标为(-2,0)。
答案：B
3. (2025·广东广州)在平面直角坐标系中，已知点 A($x_1$，$y_1$)，B($x_2$，$y_2$)都在抛物线 $y = ax^2 - 2ax$ ($a ＞ 0$)上，则下列结论正确的是 (
A
)
A.当 $x_1 ＜ 0$ 且 $y_1y_2 ＜ 0$ 时，$0 ＜ x_2 ＜ 2$
B.当 $x_1 ＜ 0$ 且 $y_1y_2 ＞ 0$ 时，$0 ＜ x_2 ＜ 2$
C.当 $x_1 ＜ x_2 ＜ 1$ 时，$y_1 ＜ y_2$
D.当 $x_1 ＞ x_2 ＞ 1$ 时，$y_1 ＜ y_2$
答案：A
解析：
解析：
抛物线 $ y = ax^2 - 2ax = a(x^2 - 2x) = a(x-1)^2 - a $（$ a＞0 $），
对称轴为 $ x=1 $，开口向上，顶点为 $ (1, -a) $。
与 $ x $ 轴交点：令 $ y=0 $，解得 $ x=0 $ 或 $ x=2 $，即抛物线过 $ (0,0) $ 和 $ (2,0) $。
选项 A：
当 $ x_1 ＜ 0 $ 时，$ y_1 = a x_1^2 - 2a x_1 $。
$ x_1 ＜ 0 $ 时，$ x_1^2 ＞ 0 $，$ -2a x_1 ＞ 0 $，故 $ y_1 ＞ 0 $。
由 $ y_1 y_2 ＜ 0 $ 得 $ y_2 ＜ 0 $。
抛物线 $ y ＜ 0 $ 时，$ x $ 的取值范围为 $ 0 ＜ x ＜ 2 $（顶点在 $ x=1 $ 处，$ y=-a ＜ 0 $），
因此 $ 0 ＜ x_2 ＜ 2 $，A 正确。
选项 B：
由选项 A 知 $ x_1 ＜ 0 $ 时 $ y_1 ＞ 0 $，若 $ y_1 y_2 ＞ 0 $，则 $ y_2 ＞ 0 $。
抛物线 $ y ＞ 0 $ 时，$ x ＜ 0 $ 或 $ x ＞ 2 $，故 $ x_2 ＜ 0 $ 或 $ x_2 ＞ 2 $，B 错误。
选项 C：
对称轴 $ x=1 $，开口向上，当 $ x ＜ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 增大而减小。
若 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 1 $，则 $ y_1 ＞ y_2 $，C 错误。
选项 D：
当 $ x ＞ 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 增大而增大。
若 $ x_1 ＞ x_2 ＞ 1 $，则 $ y_1 ＞ y_2 $，D 错误。
结论：
正确选项为 A。
A
4. (2025·江苏宿迁模拟)把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度 $h$ (m)与所经过的时间 $t$ (s)之间的关系为 $h = 10t - 5t^2$ ($0 ≤ t ≤ 1.5$). 若存在两个不同的 $t$ 的值，使足球离地面的高度均为 $a$ m，则 $a$ 的取值范围是 (
C
)
A.$0 ≤ a ≤ 3.75$
B.$0 ≤ a ＜ 5$
C.$3.75 ≤ a ＜ 5$
D.$3.75 ≤ a ≤ 5$
答案：C
解析：
要使足球离地面的高度为 $a$ m 时存在两个不同的 $t$ 值，即方程 $10t - 5t^2 = a$ 在 $0 \leq t \leq 1.5$ 内有两个不同的解。
整理方程得：$5t^2 - 10t + a = 0$，判别式 $\Delta = (-10)^2 - 4 × 5 × a = 100 - 20a$。
要使方程有两个不同的解，需 $\Delta ＞ 0$，即 $100 - 20a ＞ 0$，解得 $a ＜ 5$。
抛物线 $h = -5t^2 + 10t$ 的对称轴为 $t = -\frac{10}{2 × (-5)} = 1$，开口向下。
当 $t = 1$ 时，$h_{\mathrm{max}} = -5 × 1^2 + 10 × 1 = 5$；当 $t = 1.5$ 时，$h = -5 × (1.5)^2 + 10 × 1.5 = 3.75$。
在 $0 \leq t \leq 1.5$ 内，要使 $h = a$ 有两个不同的解，$a$ 需满足 $3.75 \leq a ＜ 5$。
综上，$a$ 的取值范围是 $3.75 \leq a ＜ 5$。
C
5. 已知二次函数 $y = x^2 - 2bx + 2b^2 - 4c$ 的图像经过点 A(1 - b，m)，B(2b + c，m)(A，B 两点不重合)，且该二次函数的图像与 $x$ 轴有交点，则 $b + c$ 的值为 (
B
)
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：B
解析：
解：二次函数$y = x^2 - 2bx + 2b^2 - 4c$的对称轴为$x = b$。
因为点$A(1 - b, m)$，$B(2b + c, m)$的纵坐标相同，且$A$、$B$两点不重合，所以$A$、$B$关于对称轴对称，即$\frac{(1 - b) + (2b + c)}{2} = b$，解得$c = b - 1$。
二次函数与$x$轴有交点，所以判别式$\Delta = (-2b)^2 - 4×1×(2b^2 - 4c) \geq 0$，即$4b^2 - 8b^2 + 16c \geq 0$，化简得$-4b^2 + 16c \geq 0$，将$c = b - 1$代入得$-4b^2 + 16(b - 1) \geq 0$，即$-b^2 + 4b - 4 \geq 0$，$(b - 2)^2 \leq 0$，所以$b = 2$。
则$c = 2 - 1 = 1$，所以$b + c = 2 + 1 = 3$。
B
6. 如图，在矩形 ABCD 中，BC=1，∠ADB=60°，动点 P 沿折线 AD - DB 运动到点 B，同时动点 Q 沿折线 DB - BC 运动到点 C，P，Q 两点在矩形边上的运动速度均为每秒 1 个单位长度，在矩形对角线上的运动速度均为每秒 2 个单位长度. 设运动的时间为 $t$ s，△PBQ 的面积为 $S$，则下列图像能大致反映 $S$ 与 $t$ 之间函数关系的是 (
D
)
答案：D 解析:因为四边形ABCD是矩形，所以AD=BC=1,∠A=∠ABC=90°.因为∠ADB=60°，所以∠ABD=90°-∠ADB=30°，所以BD=2AD=2.因为1÷1=1(s)，2÷2=1(s)，1+1=2(s)，所以t的取值范围为0≤t≤2，且当0≤t≤1时，点P在边AD上，点Q在对角线BD上；当1＜t≤2时，点P在对角线BD上，点Q在边BC上.分类讨论如下:①当0≤t≤1时，AP=t,DQ=2t，则PD=AD-AP=1-t,BQ=BD-DQ=2-2t.过点P作PM⊥BD于点M，则∠PMD=90°，所以∠DPM=90°-∠ADB=30°，所以DM=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$(1-t)，所以PM=$\sqrt{PD^{2}-DM^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$(1-t)，所以S=$\frac{1}{2}$BQ·PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$(t-1)²;②当1＜t≤2时，PD=2(t-1),BQ=t-1，则BP=BD-PD=4-2t.过点P作PN⊥BC于点N，则∠PNB=∠PNC=90°，所以∠PNC=∠ABC，所以PN//AB，所以∠BPN=∠ABD=30°，所以BN=$\frac{1}{2}$BP=2-t，所以PN=$\sqrt{BP^{2}-BN^{2}}$=$\sqrt{3}$(2-t)，所以S=$\frac{1}{2}$BQ·PN=$- \frac{\sqrt{3}}{2}$(t-$\frac{3}{2}$)²+$\frac{\sqrt{3}}{8}$.综上所述，S与t之间的函数表达式为S=$\begin{cases} \begin{array}{l} \frac{\sqrt{3}}{2}(t-1)^{2}(0\leq t\leq1), \\ -\frac{\sqrt{3}}{2}(t-\frac{3}{2})^{2}+\frac{\sqrt{3}}{8}(1＜t\leq2). \end{array} \end{cases}$故能大致反映S与t之间函数关系的图像是选项D中的图像。
