1. (2025·上海·12分)新素养
推理能力如图，在⊙O中，AB和CD是弦，半径OA，OB分别交CD于点E，F，且CE=DF.
(1) 求证：AB//CD；
(2) 连接BD.若AB=BD，求证：AB²=BF·OB.
答案：1.(1) 连接OC,OD.因为OC = OD,所以∠OCE = ∠ODF.在△OCE和△ODF中,$\begin{cases} OC = OD, \\ \angle OCE = \angle ODF, \\ CE = DF, \end{cases}$所以△OCE≌△ODF,所以OE = OF.因为OA = OB,所以$\frac{OE}{OA} = \frac{OF}{OB}$.又∠EOF = ∠AOB,所以△EOF ∽ △AOB,所以∠OEF = ∠OAB,所以AB//CD.
(2) 连接AF.因为AB = BD,所以∠AOF = ∠DOF.在△OAF和△ODF中,$\begin{cases} OA = OD, \\ \angle AOF = \angle DOF, \\ OF = OF, \end{cases}$所以△OAF≌△ODF,所以∠AFO = ∠DFO,所以∠OFE + ∠AFE = ∠OEF + ∠AOB.因为OE = OF,所以∠OFE = ∠OEF,所以∠AFE = ∠AOB.因为AB//CD,所以∠FAB = ∠AFE = ∠AOB.又∠ABF = ∠OBA,所以△ABF ∽ △OBA,所以$\frac{AB}{OB} = \frac{BF}{AB}$,所以$AB^2 = BF · OB$.
2. (2025·湖南长沙改编·12分)新素养
抽象能力我们约定：当x₁，y₁，x₂，y₂满足(x₁+y₂)²+(x₂+y₁)²=0，且x₁≠x₂，x₁+y₁≠0时，称点(x₁，y₁)与点(x₂，y₂)为一对“对偶点”.若某函数图像上至少存在一对“对偶点”，则称该函数为“对偶函数”.请你根据该约定，解答下列问题：
(1) 给出下列说法：
① 函数y=$\frac{k}{x}$(k是非零常数)的图像上存在无数对“对偶点”；
② 函数y=−2x+1一定不是“对偶函数”；
③ 函数y=x²+x−1的图像上至少存在两对“对偶点”.
其中正确的是
①②
；(填序号)
(2) 若关于x的二次函数y=2ax²−1是“对偶函数”，求实数a的取值范围.
答案：2.(1) ①②
(2) 因为关于x的二次函数$y = 2ax^2 - 1$是“对偶函数”,所以可设点$(x_1,y_1),(-y_1,-x_1)$为一对“对偶点”,则$\begin{cases} y_1 = 2ax_1^2 - 1①, \\ -x_1 = 2a(-y_1)^2 - 1②. \end{cases}$① - ②,得$x_1 + y_1 = 2a(x_1 + y_1)(x_1 - y_1)$.因为$a \neq 0,x_1 + y_1 \neq 0$,所以$2a(x_1 - y_1) = 1$,所以$y_1 = x_1 - \frac{1}{2a}$.把$y_1 = x_1 - \frac{1}{2a}$代入①,得$x_1 - \frac{1}{2a} = 2ax_1^2 - 1$,所以$2ax_1^2 - x_1 + \frac{1}{2a} - 1 = 0$.因为该方程有实数根,所以$(-1)^2 - 4 · 2a(\frac{1}{2a} - 1) \geq 0$,解得$a \geq \frac{3}{8}$.若$x_1 + y_1 = 0$,则$x_1 + x_1 - \frac{1}{2a} = 0$,解得$x_1 = \frac{1}{4a}$.把$x_1 = \frac{1}{4a}$代入$2ax_1^2 - x_1 + \frac{1}{2a} - 1 = 0$,得$\frac{1}{8a} - \frac{1}{4a} + \frac{1}{2a} - 1 = 0$,解得$a = \frac{3}{8}$,所以$a \neq \frac{3}{8}$.故a的取值范围为$a ＞ \frac{3}{8}$.
