1. (2023·辽宁沈阳)二次函数 $ y = -(x + 1)^2 + 2 $ 的图像的顶点所在的象限是 (
B
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：1.B
解析：
二次函数$y=-(x + 1)^2 + 2$的顶点式为$y=a(x - h)^2 + k$，其中顶点坐标为$(h,k)$。
在此函数中，$h=-1$，$k=2$，所以顶点坐标为$(-1,2)$。
因为$-1＜0$，$2＞0$，所以顶点$(-1,2)$在第二象限。
B
2. (2023·广西)将抛物线 $ y = x^2 $ 先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式是 (
A
)
A.$ y = (x - 3)^2 + 4 $
B.$ y = (x + 3)^2 + 4 $
C.$ y = (x - 3)^2 - 4 $
D.$ y = (x + 3)^2 - 4 $
答案：2.A
解析：
抛物线平移规律：左加右减，上加下减。
原抛物线为$y = x^2$，向右平移3个单位长度得$y=(x - 3)^2$，再向上平移4个单位长度得$y=(x - 3)^2 + 4$。
答案：A
3. (2025·山东威海)已知点 $ (-2,y_1) $，$ (3,y_2) $，$ (7,y_3) $ 都在二次函数 $ y = -(x - 2)^2 + c $ 的图像上，则 $ y_1 $，$ y_2 $，$ y_3 $ 之间的大小关系是 (
C
)
A.$ y_1 ＞ y_2 ＞ y_3 $
B.$ y_1 ＞ y_3 ＞ y_2 $
C.$ y_2 ＞ y_1 ＞ y_3 $
D.$ y_3 ＞ y_2 ＞ y_1 $
答案：3.C
解析：
∵二次函数$y=-(x - 2)^2 + c$，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$。
∵点$(-2,y_1)$到对称轴的距离为$| - 2 - 2|=4$，
点$(3,y_2)$到对称轴的距离为$|3 - 2|=1$，
点$(7,y_3)$到对称轴的距离为$|7 - 2|=5$，
又
∵抛物线开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，
$1＜4＜5$，
∴$y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$。
C
4. (2024·山东滨州)将抛物线 $ y = -x^2 $ 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，则平移后所得抛物线的顶点坐标为
(1,2)
.
答案：4.(1,2)
5. 将抛物线 $ y = (x - 3)^2 - 2 $ 向左平移
3
个单位长度后经过点 $ A(2,2) $.
答案：5.3
解析：
设向左平移$ h $个单位长度，平移后抛物线解析式为$ y=(x - 3 + h)^2 - 2 $。
因为平移后经过点$ A(2,2) $，所以$ 2=(2 - 3 + h)^2 - 2 $，即$ (h - 1)^2 = 4 $。
解得$ h - 1 = 2 $或$ h - 1 = -2 $，$ h = 3 $或$ h = -1 $（向左平移，$ h ＞ 0 $，舍去$ h = -1 $）。
3
6. 已知点 $ A(m - 1,y_1) $，$ B(m,y_2) $ 都在二次函数 $ y = (x - 1)^2 + n $ 的图像上.若 $ y_1 ＜ y_2 $，则 $ m $ 的取值范围为
m＞$\frac{3}{2}$
.
答案：6.m＞$\frac{3}{2}$ 解析:因为点A(m−1,y1),B(m,y2)都在二次函数y=(x−1)²+n的图像上,所以y1=(m−2)²+n,y2=(m−1)²+n。因为y1＜y2,所以(m−2)²+n＜(m−1)²+n,即(m−2)²−(m−1)²＜0,所以−2m+3＜0,解得m＞$\frac{3}{2}$。故m的取值范围为m＞$\frac{3}{2}$。
解析：
解：因为点$A(m - 1,y_1)$，$B(m,y_2)$在二次函数$y=(x - 1)^2 + n$的图像上，所以$y_1=(m - 2)^2 + n$，$y_2=(m - 1)^2 + n$。
因为$y_1 ＜ y_2$，所以$(m - 2)^2 + n ＜ (m - 1)^2 + n$，即$(m - 2)^2 - (m - 1)^2 ＜ 0$。
展开得$(m^2 - 4m + 4) - (m^2 - 2m + 1) ＜ 0$，化简得$-2m + 3 ＜ 0$，解得$m ＞ \frac{3}{2}$。
故$m$的取值范围为$m ＞ \frac{3}{2}$。
7. (教材 P18 练习 3 变式)将二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的图像先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，得到二次函数 $ y = \frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1 $ 的图像.
(1)试确定 $ a $，$ h $，$ k $ 的值；
(2)指出二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ 的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.
答案：7.(1)由题意，得原二次函数表达式为y=$\frac{1}{2}$(x−2+1)²−1−4,即y=$\frac{1}{2}$(x−1)²−5,所以a=$\frac{1}{2}$,h=1,k=−5。
(2)二次函数y=$\frac{1}{2}$(x−1)²−5的图像的开口向上，对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1，−5)。
8. (2023·甘肃兰州)已知二次函数 $ y = -3(x - 2)^2 - 3 $，下列说法正确的是 (
C
)
A.该函数图像的对称轴是直线 $ x = -2 $
B.该函数图像的顶点坐标是 $ (2,3) $
C.该函数的最大值是 $ -3 $
D.该函数的最小值是 $ -3 $
答案：8.C
解析：
二次函数$y = -3(x - 2)^2 - 3$为顶点式，其中$a=-3$，$h=2$，$k=-3$。
对称轴为直线$x=h=2$，A错误；
顶点坐标为$(h,k)=(2,-3)$，B错误；
因为$a=-3\lt0$，抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为$k=-3$，C正确，D错误。
C
9. (2025·江苏扬州模拟)已知抛物线的函数表达式为 $ y = 3(x - 2)^2 + 1 $.若将 $ x $ 轴向上平移 2 个单位长度，将 $ y $ 轴向左平移 3 个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为 (
C
)
A.$ y = 3(x + 1)^2 + 3 $
B.$ y = 3(x - 5)^2 + 3 $
C.$ y = 3(x - 5)^2 - 1 $
D.$ y = 3(x + 1)^2 - 1 $
答案：9.C
解析：
设新坐标系中的点为$(x', y')$，原坐标系中的点为$(x, y)$。
因为$x$轴向上平移2个单位，$y$轴向左平移3个单位，所以原坐标与新坐标的关系为：
$x = x' + 3$，$y = y' + 2$。
将$x = x' + 3$，$y = y' + 2$代入原抛物线表达式$y = 3(x - 2)^2 + 1$，得：
$y' + 2 = 3((x' + 3) - 2)^2 + 1$
化简得：
$y' + 2 = 3(x' + 1)^2 + 1$
$y' = 3(x' + 1)^2 - 1$
在新坐标系中，函数表达式为$y = 3(x + 1)^2 - 1$
D
10. 新素养
几何直观 如图，$ A $，$ B $ 两点的坐标分别为 $ (1,4) $，$ (4,4) $，抛物线 $ y = a(x - m)^2 + n $ 的顶点在线段 $ AB $(含端点)上运动，与 $ x $ 轴交于 $ C $，$ D $ 两点(点 $ C $ 在点 $ D $ 的左侧).若点 $ C $ 横坐标的最小值为 $ -3 $，则点 $ D $ 横坐标的最大值为 (
D
)
A.$ -3 $
B.$ 1 $
C.$ 5 $
D.$ 8 $
答案：10.D 解析:当抛物线的顶点与点A重合时，点C的横坐标取最小值−3，此时抛物线的对称轴为直线x=1,所以此时点D的横坐标取最小值5。当抛物线的顶点与点B重合时，点D的横坐标取最大值。因为A(1,4),B(4,4),所以AB=3,所以点D横坐标的最大值为5+3=8。
