11. 将抛物线 $ y = 2x^2 + 1 $ 先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为
2或4
.
答案：12.2或4 解析:设平移后的抛物线为y=(x−m+3)²−1(m＞0)。因为平移后的抛物线经过原点，所以0=(−m+3)²−1,解得m1=2,m2=4。故将抛物线y=(x+3)²先向下平移1个单位长度，再向右平移2或4个单位长度，得到的新抛物线经过原点。
易错警示
要熟练掌握抛物线平移的规律。
12. (2023·黑龙江牡丹江)将抛物线 $ y = (x + 3)^2 $ 先向下平移 1 个单位长度，再向右平移
2或4
个单位长度，得到的新抛物线经过原点.
答案：12.2或4 解析:设平移后的抛物线为y=(x−m+3)²−1(m＞0)。因为平移后的抛物线经过原点，所以0=(−m+3)²−1,解得m1=2,m2=4。故将抛物线y=(x+3)²先向下平移1个单位长度，再向右平移2或4个单位长度，得到的新抛物线经过原点。
易错警示
要熟练掌握抛物线平移的规律。
13. 如图，已知二次函数 $ y = (x - 3a)^2 - (3a + 2) $，当 $ a $ 取不同的值时，其图像构成一个“抛物线系”.图中分别是当 $ a = -1 $，$ a = -\frac{1}{3} $，$ a = 1 $ 时二次函数的图像，则它们的顶点 $ (x,y) $ 所满足的函数表达式为
y=−x−2
.
答案：13.y=−x−2 解析:因为抛物线y=(x−3a)²−(3a+2)的顶点坐标为(3a,−3a−2),所以x=3a,y=−3a−2。两式相加,得x+y=−2,所以顶点(x,y)所满足的函数表达式为y=−x−2。
解析：
解：二次函数$y=(x - 3a)^2 - (3a + 2)$的顶点坐标为$(3a, -3a - 2)$。
设顶点坐标为$(x, y)$，则$x = 3a$，$y=-3a - 2$。
由$x = 3a$得$a=\frac{x}{3}$，代入$y=-3a - 2$，得$y=-3×\frac{x}{3}-2=-x - 2$。
故顶点$(x,y)$所满足的函数表达式为$y=-x - 2$。
14. (2025·江苏盐城模拟)如图，在平面直角坐标系中，$ O $ 是原点，抛物线 $ y = a(x + 1)^2 - 3 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧)，与 $ y $ 轴交于点 $ C(0,-\frac{8}{3}) $，顶点为 $ D $，对称轴与 $ x $ 轴交于点 $ H $.
(1)求 $ a $ 的值及点 $ A $，$ B $ 的坐标；
(2)连接 $ AD $，$ DC $，$ CB $，求四边形 $ ABCD $ 的面积.
答案：14.(1)因为抛物线y=a(x+1)²−3与y轴交于点C(0,−$\frac{8}{3}$),所以−$\frac{8}{3}$=a−3,解得a=$\frac{1}{3}$,所以y=$\frac{1}{3}$(x+1)²−3。在y=$\frac{1}{3}$(x+1)²−3中,令y=0,得$\frac{1}{3}$(x+1)²−3=0,解得x1=2,x2=−4。因为点A在点B的左侧，所以点A的坐标为(−4,0),点B的坐标为(2,0)。
(2)由题意,得D(−1,−3),H(−1,0)。因为A(−4,0),B(2,0),C(0,−$\frac{8}{3}$),所以OA=4,OB=2,OC=$\frac{8}{3}$,OH=1,DH=3,所以S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△OBC=$\frac{1}{2}$×(4−1)×3+$\frac{1}{2}$×($\frac{8}{3}$+3)×1+$\frac{1}{2}$×2×$\frac{8}{3}$=10。故四边形ABCD的面积为10。
15. 已知二次函数 $ y = -(x - 1)^2 + 5 $.若当 $ m \leq x \leq n $ 且 $ mn ＜ 0 $ 时，$ y $ 的最小值为 $ 2m $，最大值为 $ 2n $，则代数式 $ m + n $ 的值为 (
D
)
A.$ \frac{5}{2} $
B.$ 2 $
C.$ \frac{3}{2} $
D.$ \frac{1}{2} $
答案：15.D 解析:因为m≤n,所以当mn＜0时,m＜0,n＞0。若0＜n＜1,则当x=n时,y取最大值,即2n=−(n−1)²+5,解得n=±2(不合题意,舍去);若n≥1,则当x=1时,y取最大值,即2n=−(1−1)²+5,解得n=$\frac{5}{2}$，此时由抛物线的对称性可知:若m≤−$\frac{1}{2}$,则当x=m时,y取最小值,即2m=−(m−1)²+5,解得m1=−2,m2=2(不合题意，舍去),则m+n=$\frac{1}{2}$;若−$\frac{1}{2}$＜m＜0,则当x=n时,y取最小值,即2m=−($\frac{5}{2}$−1)²+5,解得m=$\frac{11}{8}$(不合题意，舍去)。综上所述，代数式m+n的值为$\frac{1}{2}$。
16. 亮点原创 若对于任意非零实数 $ a $，抛物线 $ y = a(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}a $ 总不经过点 $ P(m - 3,m^2 - 16) $，则点 $ P $ 的坐标为
(−7,0)或(−2,−15)
.
答案：16.(−7,0)或(−2,−15) 解析:因为抛物线y=a(x+$\frac{1}{2}$)²−$\frac{9}{4}$a不经过点P(m−3,m²−16),所以m²−16≠a(m−3+$\frac{1}{2}$)²−$\frac{9}{4}$a,即m²−16≠am²−5am+4a,所以(m+4)(m−4)≠a(m−1)(m−4),所以m+4≠a(m−1)对任意非零实数a都成立且m≠4,所以m+4=0或m−1=0,解得m=−4或m=1。当m=−4时,m−3=−7,m²−16=0,所以P(−7,0);当m=1时,m−3=−2,m²−16=−15,所以P(−2,−15)。综上所述，点P的坐标为(−7,0)或(−2,−15)。
解析：
因为抛物线$y = a(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}a$不经过点$P(m - 3,m^2 - 16)$，所以$m^2 - 16 \neq a(m - 3 + \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}a$，即$m^2 - 16 \neq a(m - \frac{5}{2})^2 - \frac{9}{4}a$，展开得$m^2 - 16 \neq a(m^2 - 5m + \frac{25}{4}) - \frac{9}{4}a$，化简后$m^2 - 16 \neq am^2 - 5am + 4a$，因式分解得$(m + 4)(m - 4) \neq a(m - 1)(m - 4)$。
当$m \neq 4$时，两边同时除以$(m - 4)$，得$m + 4 \neq a(m - 1)$对任意非零实数$a$都成立。要使该式恒成立，则$m + 4 = 0$或$m - 1 = 0$，解得$m = -4$或$m = 1$。
当$m = -4$时，$m - 3 = -7$，$m^2 - 16 = 0$，所以$P(-7,0)$；当$m = 1$时，$m - 3 = -2$，$m^2 - 16 = -15$，所以$P(-2,-15)$。
点$P$的坐标为$(-7,0)$或$(-2,-15)$。
17. 新素养 推
理能力 如图，在平面直角坐标系中，$ O $ 是原点，正方形 $ OABC $ 的边长为 4，边 $ OA $，$ OC $ 分别在 $ x $ 轴、$ y $ 轴的正半轴上，把正方形 $ OABC $ 的内部及边上横、纵坐标均为整数的点称为好点.$ P $ 为抛物线 $ y = -(x - m)^2 + m + 2 $ 的顶点.
(1)当 $ m = 0 $ 时，求该抛物线下方(包括边界)的好点个数；
(2)当 $ m = 3 $ 时，求该抛物线上的好点坐标；
(3)若点 $ P $ 在正方形 $ OABC $ 内部，该抛物线下方(包括边界)恰好存在 8 个好点，求 $ m $ 的取值范围.
答案：17.(1)当m=0时,抛物线即为y=−x²+2,函数图像如图①所示:
因为当x=0时,y=2,当x=1时,y=1,当x=2时,y=−2,所以抛物线经过点(0,2),(1,1)。观察图像可知抛物线下方(包括边界)的好点有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),共5个。
(2)当m=3时,抛物线即为y=−(x−3)²+5,函数图像如图②所示:
因为当x=1时,y=1,当x=2时,y=4,当x=4时,y=4,所以抛物线经过点(1,1),(2,4),(4,4)。观察图像可知抛物线上的好点坐标为(1,1)，(2,4),(4,4)。
(3)由题意，得抛物线的顶点P的坐标为(m,m+2)。令x=m,y=m+2,则y=x+2,所以顶点P在直线y=x+2上。因为点P在正方形OABC内部,所以0＜m＜2。如图③,取点E(2,1),F(2,2)。观察图像可知,当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点(点F除外)。当抛物线经过点E时,−(2−m)²+m+2=1,解得m1=$\frac{5−\sqrt{13}}{2}$,m2=$\frac{5+\sqrt{13}}{2}$(不合题意，舍去);当抛物线经过点F时,−(2−m)²+m+2=2,解得m1=1,m2=4(不合题意，舍去)。故若点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点，则m的取值范围为$\frac{5−\sqrt{13}}{2}$≤m＜1。
