13. 已知二次函数 $ y = -(x - 3)^2 $ 的图像的顶点为 $ A $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $.若在该二次函数的图像上取一点 $ C $，在 $ x $ 轴上取一点 $ D $，使得四边形 $ ABCD $ 为平行四边形，则点 $ D $ 的坐标为
$(9,0)$
.
答案：13.$(9,0)$ 解析：如图，二次函数$y=-(x-3)^2$的图像的顶点$A$的坐标为$(3,0)$，所以$OA=3$.在$y=-(x-3)^2$中，令$x=0$，得$y=-9$，所以$B(0,-9)$.因为四边形$ABCD$为平行四边形，且点$C$在抛物线上，点$D$在$x$轴上，所以$AD=BC$，$BC// x$轴，所以由抛物线的对称性可知点$C$的坐标为$(6,-9)$，所以$AD=BC=6$，所以$OD=OA+AD=9$，所以点$D$的坐标为$(9,0)$.
14. 新素养
推理能力 (2025·江苏镇江模拟)如图，在平面直角坐标系中，$ O $ 是原点，二次函数 $ y = (x + 2)^2 $ 的图像与 $ x $ 轴交于点 $ A $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $.
(1) 写出点 $ A $，$ B $ 的坐标；
(2) 求 $ \triangle AOB $ 的面积；
(3) 在函数图像的对称轴上是否存在一点 $ P $，使得以 $ P $，$ A $，$ O $，$ B $ 四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由.
]
答案：14.(1)在$y=(x+2)^2$中，令$y=0$，得$(x+2)^2=0$，解得$x=-2$，所以点$A$的坐标为$(-2,0)$；令$x=0$，得$y=4$，所以点$B$的坐标为$(0,4)$.
(2)因为$A(-2,0),B(0,4)$，所以$OA=2,OB=4$.因为$\angle AOB=90°$，所以$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OA· OB=4$.故$\triangle AOB$的面积为$4$.
(3)因为二次函数$y=(x+2)^2$的图像的对称轴为直线$x=-2$，所以点$P$的横坐标为$-2$.如图，点$P$的位置有两种情况：①以$OA,OB$为邻边作$□ OAP_1B$，则$AP_1=OB=4$，所以$P_1(-2,4)$；②以$OB,AB$为邻边作$□ OBAP_2$，则$AP_2=OB=4$，所以$P_2(-2,-4)$.综上所述，存在满足题意的点$P$，且点$P$的坐标为$(-2,4)$或$(-2,-4)$.
15. 已知二次函数 $ y = -(x + h)^2 $，且当 $ x ＜ -3 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 增大而增大；当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 增大而减小. 若 $ h $ 满足 $ h^2 - 2h - 3 = 0 $，则当 $ x = 0 $ 时，$ y $ 的值为(
C
)
A.$ -1 $
B.$ 1 $
C.$ -9 $
D.$ 9 $
答案：15.C 解析：解方程$h^2-2h-3=0$，得$h_1=3,h_2=-1$.因为当$x＜-3$时，$y$随$x$增大而增大；当$x＞0$时，$y$随$x$增大而减小，所以$-3\leq -h\leq0$，所以$0\leq h\leq3$，所以$h=3$，所以$y=-(x+3)^2$.当$x=0$时，$y=-(0+3)^2=-9$.
16. 已知 $ P $ 是抛物线 $ y = 2(x - 2)^2 $ 对称轴上的一个动点，直线 $ x = t $ 分别与直线 $ y = x $、抛物线 $ y = 2(x - 2)^2 $ 交于点 $ A $，$ B $.若 $ \triangle ABP $ 是以 $ A $ 或 $ B $ 为直角顶点的等腰直角三角形，则 $ t = $
$\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}$或$1$或$3$
.
答案：16.$\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}$或$1$或$3$ 解析：因为直线$x=t$分别与直线$y=x$、抛物线$y=2(x-2)^2=2x^2-8x+8$交于点$A,B$，所以$A(t,t),B(t,2t^2-8t+8)$，则$AB=|t-(2t^2-8t+8)|=|2t^2-9t+8|$.分类讨论如下：①当$\triangle ABP$是以$A$为直角顶点的等腰直角三角形时，$\angle PAB=90°$，此时$AB=PA=|t-2|$，所以$|2t^2-9t+8|=|t-2|$，解得$t=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}$或$1$或$3$；②当$\triangle ABP$是以$B$为直角顶点的等腰直角三角形时，$\angle PBA=90°$，此时$AB=PB=|t-2|$，所以$|2t^2-9t+8|=|t-2|$，解得$t=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}$或$1$或$3$.综上所述，$t=\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}$或$1$或$3$.
解析：
解：由题意得，抛物线$y = 2(x - 2)^2$的对称轴为直线$x = 2$，故点$P$的横坐标为$2$。
直线$x = t$与直线$y = x$交于点$A$，则$A(t, t)$；与抛物线$y = 2(x - 2)^2$交于点$B$，则$B(t, 2(t - 2)^2)$。
$AB$的长度为$|t - 2(t - 2)^2|$，化简$2(t - 2)^2 = 2(t^2 - 4t + 4) = 2t^2 - 8t + 8$，所以$AB = |t - (2t^2 - 8t + 8)| = | - 2t^2 + 9t - 8| = |2t^2 - 9t + 8|$。
点$P$在对称轴$x = 2$上，设$P(2, m)$，则$PA$的长度为$|t - 2|$（因为$PA$垂直于$AB$时，$PA$的距离为两点横坐标差的绝对值），同理$PB$的长度为$|t - 2|$。
①当$\triangle ABP$以$A$为直角顶点时，$AB = PA$，即$|2t^2 - 9t + 8| = |t - 2|$。
当$2t^2 - 9t + 8 = t - 2$时，$2t^2 - 10t + 10 = 0$，$t^2 - 5t + 5 = 0$，解得$t = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$。
当$2t^2 - 9t + 8 = - (t - 2)$时，$2t^2 - 8t + 6 = 0$，$t^2 - 4t + 3 = 0$，解得$t = 1$或$t = 3$。
②当$\triangle ABP$以$B$为直角顶点时，同理$AB = PB$，即$|2t^2 - 9t + 8| = |t - 2|$，解得结果同上。
综上，$t = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$或$t = 1$或$t = 3$。
$\frac{5\pm\sqrt{5}}{2}$或$1$或$3$
17. 新趋势
推导探究 如图，已知点 $ A(-4, 8) $ 和点 $ B(2, t) $ 在抛物线 $ y = ax^2 $ 上.
(1) 求 $ a $ 的值及点 $ B $ 关于 $ x $ 轴对称的点 $ P $ 的坐标，并在 $ x $ 轴上找一点 $ Q $，使得 $ AQ + QB $ 的值最小，求出点 $ Q $ 的坐标；
(2) 平移抛物线 $ y = ax^2 $，记平移后点 $ A $ 的对应点为 $ A' $，点 $ B $ 的对应点为 $ B' $，$ C(-2, 0) $ 和 $ D(-4, 0) $ 是 $ x $ 轴上的两个定点.
① 当抛物线向左平移到某个位置时，$ A'C + CB' $ 的值最小，求此时抛物线的函数表达式；
② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 $ A'B'CD $ 的周长最小？若存在，求出此时抛物线的函数表达式；若不存在，请说明理由.
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答案：17.(1)把点$A(-4,8)$代入$y=ax^2$，得$8=a×(-4)^2$，解得$a=\frac{1}{2}$，所以$y=\frac{1}{2}x^2$.把点$B(2,t)$代入$y=\frac{1}{2}x^2$，得$t=\frac{1}{2}×2^2=2$，所以点$B$的坐标为$(2,2)$，所以点$B$关于$x$轴的对称点$P$的坐标为$(2,-2)$.连接$AP$，则直线$AP$与$x$轴的交点即为所求的点$Q$.设直线$AP$的函数表达式为$y=mx+n$.把点$A(-4,8),P(2,-2)$分别代入$y=mx+n$，得$\begin{cases}-4m+n=8,\\2m+n=-2.\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-\frac{5}{3},\=\frac{4}{3}.\end{cases}$所以直线$AP$的函数表达式为$y=-\frac{5}{3}x+\frac{4}{3}$.在$y=-\frac{5}{3}x+\frac{4}{3}$中，令$y=0$，得$-\frac{5}{3}x+\frac{4}{3}=0$，解得$x=\frac{4}{5}$，所以点$Q$的坐标为$(\frac{4}{5},0)$.
(2)①因为$Q(\frac{4}{5},0)$，所以$CQ=\frac{4}{5}-(-2)=\frac{14}{5}$，所以将抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$向左平移$\frac{14}{5}$个单位长度时，$A'C+CB'$的值最小，此时抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x+\frac{14}{5})^2$.
②因为线段$A'B'$和$CD$的长是定值，所以要使四边形$A'B'CD$的周长最小，只需使$A'D+CB'$的值最小.第一种情况：如果将抛物线向右平移，那么显然有$A'D+CB'＞AD+CB$，因此不存在某个位置，使四边形$A'B'CD$的周长最小.第二种情况：如图，设将抛物线向左平移$b$个单位长度，则点$A'$和点$B'$的坐标分别为$(-4-b,8)$和$(2-b,2)$.因为$CD=2$，所以可将点$B'$向左平移$2$个单位长度得点$B''(-b,2)$，易知$DB''=CB'$，则要使$A'D+DB''$的值最小，点$D$应在直线$A''B''$上.把点$D(-4,0)$代入$y=\frac{5}{2}x+\frac{5}{2}b+2$，得$\frac{5}{2}×(-4)+\frac{5}{2}b+2=0$，解得$b=\frac{16}{5}$.故当抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形$A'B'CD$的周长最小，此时抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x+\frac{16}{5})^2$.
