1. 抛物线 $ y = (x - 2025)^2 $ 的顶点坐标为(
D
)
A.$ (0, -2025) $
B.$ (0, 2025) $
C.$ (-2025, 0) $
D.$ (2025, 0) $
答案：1.D
2. (2023·四川南充)若点 $ P(m, n) $ 在抛物线 $ y = ax^2 $ 上，则下列各点在抛物线 $ y = a(x + 1)^2 $ 上的是(
D
)
A.$ (m, n + 1) $
B.$ (m + 1, n) $
C.$ (m, n - 1) $
D.$ (m - 1, n) $
答案：2.D
解析：
∵点$P(m,n)$在抛物线$y = ax^2$上，
$\therefore n = am^2$。
对于抛物线$y = a(x + 1)^2$，令$y = n$，则$n = a(x + 1)^2$。
$\because n = am^2$，
$\therefore am^2 = a(x + 1)^2$，
$\because a \neq 0$，
$\therefore m^2 = (x + 1)^2$，
$\therefore x + 1 = \pm m$，
$\therefore x = m - 1$或$x = -m - 1$。
$\therefore$点$(m - 1,n)$在抛物线$y = a(x + 1)^2$上。
D
3. 已知函数 $ y = -2(x - 3)^2 $，下列说法不正确的是(
D
)
A.该函数的图像开口向下
B.该函数图像的对称轴是直线 $ x = 3 $
C.该函数的最大值为 $ 0 $
D.该函数的图像与 $ y $ 轴没有交点
答案：3.D
解析：
对于函数$y = -2(x - 3)^2$：
因为二次项系数$-2 ＜ 0$，所以图像开口向下，A正确；
对称轴为直线$x = 3$，B正确；
函数开口向下，顶点坐标为$(3, 0)$，所以最大值为$0$，C正确；
当$x = 0$时，$y=-2(0 - 3)^2=-18$，图像与$y$轴交于$(0, -18)$，D错误。
D
4. (教材 P15 练习 2 变式)函数 $ y = -3(x + 2)^2 $ 的图像是由函数
$y=-3x^2$
的图像向左平移 2 个单位长度得到的.
答案：4.$y=-3x^2$
5. 已知函数 $ y = -(x - 1)^2 $ 的图像上两点 $ A(2, y_1) $，$ B(a, y_2) $，其中 $ a ＞ 2 $，则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 之间的大小关系是 $ y_1 $
$ ＞ $
$ y_2 $.(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)
答案：5. $＞$
6. (2025·江苏徐州模拟)已知二次函数 $ y = 3(x - a)^2 $.若当 $ x ＞ 2 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 增大而增大，则 $ a $ 的取值范围是
$a\leq2$
.
答案：6.$a\leq2$ 解析：二次函数$y=3(x-a)^2$的图像的开口向上，对称轴为直线$x=a$.因为当$x＞2$时，$y$随$x$增大而增大，所以$a\leq2$.故$a$的取值范围是$a\leq2$.
解析：
二次函数$y = 3(x - a)^2$的图像开口向上，对称轴为直线$x = a$。当$x ＞ a$时，$y$随$x$增大而增大。已知当$x ＞ 2$时，$y$随$x$增大而增大，所以$a \leq 2$。
$a\leq2$
7. 已知二次函数 $ y = a(x - h)^2 $，当 $ x = 2 $ 时，$ y $ 取最大值，且其图像经过点 $ (1, -3) $.求该函数的表达式，并指出当 $ x $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 增大而减小.
答案：7.因为当$x=2$时，二次函数$y=a(x-h)^2$取最大值，所以$h=2,a＜0$.因为函数图像经过点$(1,-3)$，所以$-3=a×(1-2)^2$，解得$a=-3$，所以该函数的表达式为$y=-3(x-2)^2$.当$x＞2$时，$y$随$x$增大而减小.
8. 新趋势
开放探究 若一条抛物线的对称轴经过点 $ (5, 0) $ 且与 $ y $ 轴平行，则该抛物线的函数表达式可能为(
D
)
A.$ y = x^2 - 5 $
B.$ y = x^2 + 5 $
C.$ y = (x + 5)^2 $
D.$ y = (x - 5)^2 $
答案：8.D
解析：
对于二次函数$y=a(x-h)^2 + k$（$a\neq0$），其对称轴为直线$x=h$。
选项A：$y = x^2 - 5$，可化为$y=(x-0)^2-5$，对称轴为直线$x=0$。
选项B：$y = x^2 + 5$，可化为$y=(x-0)^2+5$，对称轴为直线$x=0$。
选项C：$y=(x + 5)^2$，即$y=(x-(-5))^2$，对称轴为直线$x=-5$。
选项D：$y=(x - 5)^2$，对称轴为直线$x=5$，该直线经过点$(5,0)$且与$y$轴平行。
D
9. 将抛物线 $ y = -2(x - 2)^2 $ 经过一次平移得到抛物线 $ y = -2(x + 3)^2 $，这个平移的过程是(
C
)
A.向左平移 3 个单位长度
B.向右平移 3 个单位长度
C.向左平移 5 个单位长度
D.向右平移 5 个单位长度
答案：9.C
解析：
抛物线$y = -2(x - 2)^2$的顶点坐标为$(2,0)$，抛物线$y = -2(x + 3)^2$的顶点坐标为$(-3,0)$。
$2 - (-3) = 5$，即顶点从$(2,0)$向左平移5个单位长度得到$(-3,0)$。
所以这个平移过程是向左平移5个单位长度。
C
10. 已知二次函数 $ y = -(x - h)^2 $.若当自变量 $ x $ 的值满足 $ 2 \leq x \leq 5 $ 时，与其对应的函数值 $ y $ 的最大值为 $ -1 $，则 $ h $ 的值为(
B
)
A.3 或 6
B.1 或 6
C.1 或 3
D.4 或 6
答案：10.B 解析：当$x=h$时，二次函数$y=-(x-h)^2$的函数值$y$取得最大值$0$.因为当$2\leq x\leq5$时，对应的函数值$y$的最大值为$-1$，所以$h＜2$或$h＞5$.分类讨论如下：①若$h＜2$，则当$x=2$时，$y=-(2-h)^2=-1$，解得$h_1=1,h_2=3$(不合题意，舍去)；②若$h＞5$，则当$x=5$时，$y=-(5-h)^2=-1$，解得$h_1=6,h_2=4$(不合题意，舍去).综上所述，$h$的值为$1$或$6$.
11. 已知 $ A(-1, y_1) $，$ B(-2, y_2) $，$ C(3, y_3) $ 三点都在二次函数 $ y = -2(x + 2)^2 $ 的图像上，则 $ y_1 $，$ y_2 $，$ y_3 $ 之间的大小关系为
$y_2＞y_1＞y_3$
.(用“$ ＞ $”号连接)
答案：11.$y_2＞y_1＞y_3$
12. 亮点原创 已知函数 $ y_1 = -(x - m)^2 $，$ y_2 = -(x - n)^2 $，直线 $ x = c $ 与函数 $ y_1 $，$ y_2 $ 的图像分别交于点 $ A(c, a) $，$ B(c, b) $，给出下列结论：
① 若 $ c ＜ m ＜ n $，则 $ a ＜ b $；
② 若 $ m ＜ c ＜ n $，则 $ a ＜ b $；
③ 若 $ m ＜ n ＜ c $，则 $ a ＜ b $；
④ 若 $ m ＜ n ＜ c $，则 $ b ＜ a $.
其中正确的是
③
.(填序号)
答案：12.③
解析：
当直线$x = c$与函数$y_1 = -(x - m)^2$交于点$A(c, a)$时，$a=-(c - m)^2$；与函数$y_2 = -(x - n)^2$交于点$B(c, b)$时，$b=-(c - n)^2$。$a - b=-(c - m)^2 + (c - n)^2=(c - n)^2-(c - m)^2=(c - n + c - m)(c - n - c + m)=(2c - m - n)(m - n)$。
①若$c ＜ m ＜ n$，则$m - n ＜ 0$，$2c - m - n ＜ 0$，$a - b=(2c - m - n)(m - n) ＞ 0$，即$a ＞ b$，①错误。
②若$m ＜ c ＜ n$，则$m - n ＜ 0$，$2c - m - n$符号不确定，$a - b$符号不确定，②错误。
③若$m ＜ n ＜ c$，则$m - n ＜ 0$，$2c - m - n ＞ 0$，$a - b=(2c - m - n)(m - n) ＜ 0$，即$a ＜ b$，③正确。
④由③知$a ＜ b$，④错误。
正确的是③。
