1. 新素养 抽象
能力 (2024·四川眉山)对于任意实数 $ a,b $，定义运算“$ \otimes $”：$ a\otimes b=(a + 2b)(a - b) $.例如：$ 4\otimes 3=(4 + 2×3)×(4 - 3)=10 $，则函数 $ y=(x + 1)\otimes 2 $ 的最小值为(
B
)
A.$ -21 $
B.$ -9 $
C.$ -7 $
D.$ -5 $
答案：1.B
解析：
由定义知，$y=(x + 1)\otimes 2 = [(x + 1) + 2×2][(x + 1) - 2]$
$=(x + 5)(x - 1)$
$=x^2 + 4x - 5$
$=(x + 2)^2 - 9$
因为$(x + 2)^2 \geq 0$，所以当$x = -2$时，$y$有最小值$-9$。
B
2. 在平面直角坐标系中，若二次函数 $ y = x^{2}+mx + m^{2}-m $($ m $ 为常数)的图像经过点 $ (0,6) $，且其对称轴在 $ y $ 轴左侧，则该二次函数有(
D
)
A.最大值 $ 5 $
B.最大值 $ \frac{15}{4} $
C.最小值 $ 5 $
D.最小值 $ \frac{15}{4} $
答案：2.D
解析：
因为二次函数$y = x^{2}+mx + m^{2}-m$的图像经过点$(0,6)$，所以将$x=0$，$y=6$代入函数可得：$6 = 0^{2}+m×0 + m^{2}-m$，即$m^{2}-m - 6=0$，因式分解得$(m - 3)(m + 2)=0$，解得$m = 3$或$m=-2$。
二次函数对称轴为$x=-\frac{m}{2}$，因为对称轴在$y$轴左侧，所以$-\frac{m}{2}＜0$，即$m＞0$，所以$m = 3$。
此时二次函数为$y=x^{2}+3x + 3^{2}-3=x^{2}+3x + 6$，因为二次项系数$1＞0$，函数有最小值，最小值为$y=\frac{4×1×6 - 3^{2}}{4×1}=\frac{24 - 9}{4}=\frac{15}{4}$。
D
3. (2023·山东日照)在平面直角坐标系中，已知抛物线 $ y = ax^{2}+bx $，其中 $ a,b $ 满足 $ \begin{cases}3a + b＞0,\\a + b＜0.\end{cases}$ 若点 $ (-3,m) $，$ (2,n) $，$ (4,t) $ 都在该抛物线上，则 $ m,n,t $ 之间的大小关系为( )
A.$ t ＜ n ＜ m $
B.$ m ＜ t ＜ n $
C.$ n ＜ t ＜ m $
D.$ n ＜ m ＜ t $
答案：3.C 解析：因为$3a+b＞0$，所以$-b＜3a$，$a+b+2a＞0$。因为$a+b＜0$，所以$a＜-b$，$2a＞0$，所以$a＞0$，所以抛物线$y=ax^{2}+bx$开口向上.因为$a＜-b＜3a$，所以$1＜-\frac{b}{a}＜3$，所以$\frac{1}{2}＜-\frac{b}{2a}＜\frac{3}{2}$，所以该抛物线的对称轴在直线$x=\frac{1}{2}$和直线$x=\frac{3}{2}$之间.因为点$(-3,m)$，$(2,n)$，$(4,t)$在该抛物线上，所以$m$，$n$，$t$之间的大小关系为$n＜t＜m$。
$·$易错警示$·$
要准确判断抛物线的开口方向和对称轴.
4. 二次函数 $ y = -x^{2}-2x + 3 $ 的图像的顶点坐标为
$(-1,4)$
.
答案：4.$(-1,4)$
解析：
解：对于二次函数$y = -x^{2}-2x + 3$，其中$a=-1$，$b=-2$，$c=3$。
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×(-1)}=-1$。
当$x=-1$时，$y=-(-1)^{2}-2×(-1)+3=-1 + 2 + 3=4$。
顶点坐标为$(-1,4)$。
$(-1,4)$
5. (2023·山东泰安)二次函数 $ y = -x^{2}-3x + 4 $ 的最大值是
$\frac{25}{4}$
.
答案：5.$\frac{25}{4}$
解析：
解：对于二次函数$y = -x^{2}-3x + 4$，其中$a=-1$，$b=-3$，$c=4$。
因为$a=-1\lt0$，所以函数图象开口向下，函数有最大值。
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2×(-1)}=-\frac{3}{2}$。
将$x=-\frac{3}{2}$代入函数可得：
$y=-(-\frac{3}{2})^{2}-3×(-\frac{3}{2})+4$
$=-\frac{9}{4}+\frac{9}{2}+4$
$=-\frac{9}{4}+\frac{18}{4}+\frac{16}{4}$
$=\frac{25}{4}$
故二次函数的最大值是$\frac{25}{4}$。
6. 已知将抛物线 $ y = ax^{2}+bx - 1 $ 向上平移 $ 3 $ 个单位长度后经过点 $ (-2,5) $，则代数式 $ 8a - 4b - 11 $ 的值是
$-5$
.
答案：6.$-5$ 解析：将抛物线$y=ax^{2}+bx-1$向上平移3个单位长度后得到抛物线$y=ax^{2}+bx+2$。由题意，得抛物线$y=ax^{2}+bx+2$经过点$(-2,5)$，所以$4a-2b+2=5$，所以$4a-2b=3$，所以$8a-4b-11=2(4a-2b)-11=2×3-11=-5$。
解析：
将抛物线$y = ax^{2}+bx - 1$向上平移$3$个单位长度后得到抛物线$y = ax^{2}+bx + 2$。
因为平移后的抛物线经过点$(-2,5)$，所以把$x=-2$，$y=5$代入$y = ax^{2}+bx + 2$，得：
$a×(-2)^{2}+b×(-2)+2=5$
$4a - 2b + 2 = 5$
$4a - 2b = 3$
则$8a - 4b - 11 = 2(4a - 2b)-11 = 2×3 - 11 = 6 - 11 = -5$
$-5$
7. 新趋势 推导探究 (教材 P20 习题 8 变式)当 $ k $ 分别取 $ -1,1,2 $ 时，函数 $ y=(k - 1)x^{2}-4x + 5 - k $ 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有最大值，请求出最大值.
答案：7.当$k$取$-1$时，该函数有最大值；当$k$取1,2时，该函数没有最大值.理由如下：当$k=-1$时，$y=-2x^{2}-4x+6=-2(x+1)^{2}+8$。因为$-2＜0$，所以二次函数的图像开口向下，所以该函数有最大值，当$x=-1$时，$y$取最大值，且最大值为8；当$k=1$时，$y=-4x+4$，是一次函数，所以该函数无最大值；当$k=2$时，$y=x^{2}-4x+3$。因为$1＞0$，所以二次函数的图像开口向上，所以该函数无最大值。
8. (2025·福建)已知点 $ A(-2,y_{1}) $，$ B(1,y_{2}) $ 都在抛物线 $ y = 3x^{2}+bx + 1 $ 上.若 $ 3 ＜ b ＜ 4 $，则下列判断正确的是(
A
)
A.$ 1 ＜ y_{1} ＜ y_{2} $
B.$ y_{1} ＜ 1 ＜ y_{2} $
C.$ 1 ＜ y_{2} ＜ y_{1} $
D.$ y_{2} ＜ 1 ＜ y_{1} $
答案：8.A
解析：
当$x=-2$时，$y_{1}=3×(-2)^{2}+b×(-2)+1=13 - 2b$；当$x=1$时，$y_{2}=3×1^{2}+b×1 + 1=4 + b$。
因为$3 ＜ b ＜ 4$，所以$6 ＜ 2b ＜ 8$，则$13 - 8 ＜ 13 - 2b ＜ 13 - 6$，即$5 ＜ y_{1} ＜ 7$；$4 + 3 ＜ 4 + b ＜ 4 + 4$，即$7 ＜ y_{2} ＜ 8$。
综上可得$5 ＜ y_{1} ＜ 7 ＜ y_{2} ＜ 8$，所以$1 ＜ y_{1} ＜ y_{2}$。
A
9. (2025·江苏连云港模拟)在平面直角坐标系中，将抛物线 $ y = x^{2}-(m - 1)x + m(m＞1) $ 沿 $ y $ 轴向下平移 $ 3 $ 个单位长度，则平移后得到的抛物线的顶点一定在(
D
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：9.D
解析：
将抛物线$y = x^{2}-(m - 1)x + m(m＞1)$配方得：$y=(x-\dfrac{m-1}{2})^{2}+\dfrac{-(m-3)^{2}+8}{4}$，其顶点坐标为$(\dfrac{m-1}{2},\dfrac{-(m-3)^{2}+8}{4})$。
沿$y$轴向下平移$3$个单位后，顶点坐标变为$(\dfrac{m-1}{2},\dfrac{-(m-3)^{2}+8}{4}-3)=(\dfrac{m-1}{2},\dfrac{-(m-3)^{2}-4}{4})$。
因为$m＞1$，所以$\dfrac{m-1}{2}＞0$；又因为$-(m - 3)^{2}-4＜0$，所以平移后抛物线的顶点在第四象限。
D
10. 已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $.若 $ ab ＜ 0 $，$ a - b^{2}＞0 $，$ A(x_{1},y_{1}) $，$ B(x_{2},y_{2}) $ 两点在该二次函数的图像上，其中 $ x_{1} ＜ x_{2} $，$ x_{1}+x_{2}=0 $，则下列判断正确的是(
B
)
A.$ y_{1}=-y_{2} $
B.$ y_{1}＞y_{2} $
C.$ y_{1}＜y_{2} $
D.$ y_{1},y_{2} $ 之间的大小关系无法确定
答案：10.B 解析：因为$ab＜0$，所以$a$，$b$异号.因为$a-b^{2}＞0$，所以$a＞b^{2}$，所以$a＞0$，$b＜0$。因为$x_{1}＜x_{2}$，$x_{1}+x_{2}=0$，所以$x_{1}＜0$，$x_{2}=-x_{1}$。因为$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$两点在二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图像上，所以$y_{1}=ax_{1}^{2}+bx_{1}+c$，$y_{2}=ax_{2}^{2}+bx_{2}+c=ax_{1}^{2}-bx_{1}+c$，所以$y_{1}-y_{2}=2bx_{1}＞0$，所以$y_{1}＞y_{2}$。
