典例如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$EF$ 过点 $O$，交 $AD$ 于点 $E$，交 $BC$ 于点 $F$。若 $AB = 3$，$AC = 4$，$AD = 5$，则图中阴影部分的面积是(
C
)
A.$1.5$
B.$3$
C.$6$
D.$4$
答案：思路分析 因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$AB = 3$，所以 $CD = AB = 3$，$AD // BC$，$OB = OD$。所以 $\angle OED = \angle OFB$，$\angle ODE = \angle OBF$。所以 $\triangle ODE \cong \triangle OBF$($AAS$)。所以 $S_{\triangle ODE} = S_{\triangle OBF}$，即 $S_{阴影} = S_{\triangle AOE} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle OBF} = S_{\triangle AOE} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle ODE} = S_{\triangle ACD}$。又 $AD = 5$，$AC = 4$，所以 $AC^{2} + CD^{2} = AD^{2}$，即 $\angle ACD = 90^{\circ}$。所以 $S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2}CD · AC = 6$，即 $S_{阴影} = 6$。
答案 $C$
变式 1 亮点原创 如图，在$□ ABCD$ 中，$BC = 6$ $cm$，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$OE ⊥ AC$ 交 $AD$ 于点 $E$，延长 $EO$ 交 $BC$ 于点 $F$，连接 $CE$。若 $OF = DE$，则$\triangle CEF$ 的周长为(
B
)
答案：【变式1】B
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$OA=OC$，$AD=BC=6\,\mathrm{cm}$。
∵$OE⊥ AC$，
∴$\angle AOE=\angle COF=90°$。
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中：
$\begin{cases}\angle OAE=\angle OCF \\OA=OC \\\angle AOE=\angle COF\end{cases}$
∴$\triangle AOE\cong\triangle COF(\mathrm{ASA})$，
∴$OE=OF$，$AE=CF$。
设$OF=DE=x$，则$OE=x$，$EF=OE+OF=2x$。
∵$AD=AE+DE=6$，
∴$AE=6-x$，则$CF=AE=6-x$。
∵$OE⊥ AC$，$OA=OC$，
∴$CE=AE=6-x$（线段垂直平分线上的点到两端距离相等）。
$\triangle CEF$的周长为：
$CE+CF+EF=(6-x)+(6-x)+2x=12\,\mathrm{cm}$。
结论：$\triangle CEF$的周长为$\boxed{12}$。
典例新素养
几何直观 如图①，$A$，$B$，$C$，$D$ 四点在网格中小正方形的顶点处，$AD$ 与 $BC$ 相交于点 $O$。若小正方形的边长为 $1$，则 $DO$ 的长为
3
。
答案：思路分析 如图②，取一点 $E$，使 $CE = AB$，连接 $AE$。因为 $AB // EC$，$AB = EC = 2$，所以四边形 $AECB$ 是平行四边形，即 $AE // BC$。所以 $\angle DAE = \angle DOC$，$\angle DEA = \angle DCO$。由勾股定理，得 $AD = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$，且 $DE = 5$，所以 $AD = DE$，即 $\angle DAE = \angle DEA$。所以 $\angle DOC = \angle DCO$。所以 $DO = DC$。又 $DC = 3$，所以 $DO = 3$。
答案 $3$
