变式 2 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = CD$，$DF$ 平分 $\angle ADC$，交 $AB$ 于点 $F$，$E$ 是 $AD$ 延长线上一点，连接 $BE$，交 $CD$ 于点 $G$。若 $\angle A = 40^{\circ}$，$AD = AF = CG$，则 $\angle ABE =$
70°
。
答案：【变式2】70°
典例新素养
推理能力 如图，在$\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $AB$ 上一点，$E$ 是 $AC$ 的中点，且 $BE$ 平分 $\angle ABC$，在 $AC$ 右侧取一点 $F$，使 $EF = BD$，$DF = BE$，则 $DF$ 与 $AC$ 之间的位置关系是
DF ⊥ AC
。
答案：思路分析 因为 $EF = BD$，$DF = BE$，所以四边形 $BDFE$ 是平行四边形，即 $BE // DF$。又 $E$ 是 $AC$ 的中点，$BE$ 平分 $\angle ABC$，所以易得 $BE ⊥ AC$。所以 $DF ⊥ AC$。
答案 $DF ⊥ AC$
变式 3 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$\angle BCD = 90^{\circ}$，$CD$ 的垂直平分线分别交边 $CD$，$AD$ 于 $G$，$E$ 两点，连接 $CE$，$BD$。若 $CE // AB$，$AB = 6$，$CE = 10$，则 $AE$ 的长为
4
。
答案：【变式3】4 解析：分别延长BA，GE相交于点F.因为GE垂直平分CD，所以∠CGE = ∠DGE = 90°，CG = DG. 又EG = EG，所以△CGE ≌ △DGE (SAS). 所以∠CEG = ∠DEG. 又∠BCD = 90°，所以∠BCD + ∠CGE = 180°，即BC//GF. 又CE//AB，所以四边形BCEF是平行四边形，∠CEG = ∠F，即BF = CE，∠F = ∠DEG. 又CE = 10，∠DEG = ∠AEF，所以BF = 10，∠AEF = ∠F，即AE =
AF. 又AB = 6，所以AE = AF = BF - AB = 4.
典例如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，在 $OA$，$OC$ 的延长线上分别取 $E$，$F$ 两点，使 $\angle ABE = \angle CDF$，连接 $DE$，$BF$。求证：四边形 $BEDF$ 是平行四边形。
答案：思路分析 由已知条件证明 $\triangle ABE \cong \triangle CDF$，得到 $AE = CF$。又 $OA = OC$，$OB = OD$，所以 $OE = OF$，即四边形 $BEDF$ 是平行四边形。
答案 因为四边形 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $AB = CD$，$OA = OC$，$OB = OD$，$AB // CD$，即 $\angle BAO = \angle DCO$。又 $\angle BAO + \angle BAE = 180^{\circ}$，$\angle DCO + \angle DCF = 180^{\circ}$，所以 $\angle BAE = \angle DCF$。又 $\angle ABE = \angle CDF$，所以 $\triangle ABE \cong \triangle CDF$($ASA$)。所以 $AE = CF$。所以 $AE + OA = CF + OC$，即 $OE = OF$。所以四边形 $BEDF$ 是平行四边形。
变式 4 如图，在$\triangle ABC$ 中，$E$ 是边 $AC$ 的中点，过点 $E$ 作 $DE // BC$，交 $AB$ 于点 $D$，延长 $DE$ 到点 $F$，使 $EF = DE$，连接 $AF$，$CF$，$CD$，则 $BD$ 与 $CF$ 之间的关系是
BD = CF，BD//CF
。
答案：【变式4】BD = CF，BD//CF
解析：
证明：
∵E是AC中点，
∴AE=CE。
∵EF=DE，∠AEF=∠CED，
∴△AEF≌△CED（SAS），
∴AF=CD，∠AFE=∠CDE，
∴AF//CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD=CF，AD//CF。
∵DE//BC，E为AC中点，
∴D为AB中点（三角形中位线定理），
∴AD=BD，
∴BD=CF，BD//CF。
结论：BD = CF，BD//CF。
