典例 1
函数 $ y = \dfrac{\sqrt{x + 2}}{x^2 - 4} $ 的自变量 $ x $ 的取值范围是(
)
A.$ x \geqslant - 2 $ 且 $ x \neq 2 $
B.$ x ＞ - 2 $ 且 $ x \neq 2 $
C.$ x = \pm 2 $
D.全体实数
答案：【思路分析】由题意，得 $ x + 2 \geqslant 0 $，$ x^2 - 4 \neq 0 $，解得 $ x ＞ - 2 $ 且 $ x \neq 2 $。则 $ x $ 的取值范围是 $ x ＞ - 2 $ 且 $ x \neq 2 $。
【答案】B
【变式 1】
使代数式 $ \dfrac{
1}{\sqrt{x + 2}} - \sqrt{3 - 2x} $ 有意义的整数 $ x $ 的个数为(
C
)
A.5
B.4
C.3
D.2
答案：【变式1】C
解析：
要使代数式$\dfrac{1}{\sqrt{x + 2}} - \sqrt{3 - 2x}$有意义，需满足：
1. 分母$\sqrt{x + 2}$有意义且不为$0$，则$x + 2 ＞ 0$，解得$x ＞ -2$；
2. 二次根式$\sqrt{3 - 2x}$有意义，则$3 - 2x \geq 0$，解得$x \leq \dfrac{3}{2}$。
综上，$x$的取值范围为$-2 ＜ x \leq \dfrac{3}{2}$。
其中的整数有$-1$，$0$，$1$，共$3$个。
C
典例 2
新素养 几何直观 若实数 $ m $，$ n $ 在数轴上对应点的位置如图所示，则化简 $ | m | + \sqrt{(m - n)^2} - \sqrt{(m + n)^2} + (\sqrt{n})^2 $ 的结果为
。
答案：【思路分析】由题图，得 $ m ＜ 0 ＜ n $，且 $ | m | ＞ | n | $，所以 $ m + n ＜ 0 $，$ m - n ＜ 0 $。所以原式 $ = - m + | m - n | - | m + n | + n = - m + n - m + m + n + n = 3n - m $。
【答案】$ 3n - m $
【变式 2】
亮点原创 若实数 $ x $，$ y $，$ z $ 对应的点在数轴上的位置如图所示，化简：$ \sqrt{(x + z)^2} + (\sqrt{y + 1})^2 + \sqrt{(y - z)^2} - | x + y | $。
答案：【变式2】由题图，得$-3 ＜ x ＜ -2 ＜ -1 ＜ y ＜ 0 ＜ 1 ＜ z ＜ 2$，所以$x + z ＜ 0$，$y + 1 ＞ 0$，$y - z ＜ 0$，$x + y ＜ 0$。则原式$= \lvert x + z \rvert + y + 1 + \lvert y - z \rvert - \lvert x + y \rvert = -x - z + y + 1 - y + z + x + y = y + 1$。
解析：
解：由数轴可知，$-3 ＜ x ＜ -2$，$-1 ＜ y ＜ 0$，$1 ＜ z ＜ 2$，
$\therefore x + z ＜ 0$，$y + 1 ＞ 0$，$y - z ＜ 0$，$x + y ＜ 0$。
原式$=|x + z| + (\sqrt{y + 1})^2 + |y - z| - |x + y|$
$=-(x + z) + (y + 1) + (z - y) - [-(x + y)]$
$=-x - z + y + 1 + z - y + x + y$
$=y + 1$。
典例 3
若 $ a $，$ b $，$ c $ 满足 $ | a - 4 | + \sqrt{(2 + b)^2} + \sqrt{c - 5} + \sqrt{d - 3} - \sqrt{3 - d} = 0 $，则代数式 $ \dfrac{b - c}{a - d} $ 的值为
。
答案：【思路分析】由题意，得 $ d - 3 \geqslant 0 $，$ 3 - d \geqslant 0 $，解得 $ d = 3 $。则原式化为 $ | a - 4 | + \sqrt{(2 + b)^2} + \sqrt{c - 5} = 0 $。所以 $ a - 4 = 0 $，$ 2 + b = 0 $，$ c - 5 = 0 $，解得 $ a = 4 $，$ b = - 2 $，$ c = 5 $。则 $ \dfrac{b - c}{a - d} = \dfrac{- 2 - 5}{4 - 3} = - 7 $。
【答案】$ - 7 $
