【变式 3】
(1)若 $ \sqrt{a - 2} + | 1 - a | = a + 3 $，则 $ a $ 的值为
$18$
；
(2)已知 $ y = \sqrt{8 - x} + \sqrt{x - 8} + \dfrac{1}{2} $，求 $ \sqrt{\dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y} + 2} - \sqrt{\dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y} - 2} $ 的值；
(3)已知 $ n = \sqrt{mn - 10} + \sqrt{20 - 2mn} - m + 7 $，求 $ m - n $ 的值。
答案：【变式3】(1)$18$
(2)由题意，得$8 - x \geqslant 0$，$x - 8 \geqslant 0$，所以$x = 8$。因为$y = \sqrt{8 - x} + \sqrt{x - 8} + \frac{1}{2}$，所以$y = \frac{1}{2}$，即$\frac{y}{x} = \frac{1}{16}$，$\frac{x}{y} = 16$。则原式$= \sqrt{\frac{1}{16} + 16 + 2} - \sqrt{\frac{1}{16} + 16 - 2} = \sqrt{(\frac{1}{4} + 4)^2} - \sqrt{(4 - \frac{1}{4})^2} = 4 + \frac{1}{4} - (4 - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$。
(3)由题意，得$mn - 10 \geqslant 0$，$20 - 2mn \geqslant 0$，所以$mn = 10$。因为$n = \sqrt{mn - 10} + \sqrt{20 - 2mn} - m + 7$，所以$m + n = 7$，即$(m + n)^2 = 49$。又$(m - n)^2 = (m + n)^2 - 4mn$，所以$(m - n)^2 = 9$，即$m - n = \pm 3$。
典例 4
新素养
推理能力 已知点 $ Q(3 - a,5 - a) $ 在第二象限，则化简 $ \sqrt{a^2 - 4a + 4} + \sqrt{a^2 - 10a + 25} = $
。
答案：【思路分析】因为点 $ Q(3 - a,5 - a) $ 在第二象限，所以 $ 3 - a ＜ 0 $，$ 5 - a ＞ 0 $，解得 $ 3 ＜ a ＜ 5 $。则 $ a - 2 ＞ 0 $，$ a - 5 ＜ 0 $。则原式 $ = \sqrt{(a - 2)^2} + \sqrt{(a - 5)^2} = | a - 2 | + | a - 5 | = a - 2 + 5 - a = 3 $。
【答案】3
【变式 4】
若 $ x $，$ y $ 都是实数，且满足 $ y ＞ \sqrt{2 - x} + \sqrt{x - 2} + 3 $，试化简代数式 $ | x - 4 | - \sqrt{(4 - x)^2} - \dfrac{\sqrt{y^2 - 4y + 4}}{2 - y} $。
答案：【变式4】由题意，得$2 - x \geqslant 0$，$x - 2 \geqslant 0$，所以$x = 2$。因为$y ＞ \sqrt{2 - x} + \sqrt{x - 2} + 3$，所以$y ＞ 3$。则原式$= \lvert x - 4 \rvert - \lvert x - 4 \rvert - \frac{\lvert y - 2 \rvert}{2 - y} = - \frac{y - 2}{2 - y} = 1$。
解析：
由题意，得$2 - x \geqslant 0$，$x - 2 \geqslant 0$，所以$x = 2$。
因为$y ＞ \sqrt{2 - x} + \sqrt{x - 2} + 3$，所以$y ＞ 3$。
则原式$= |x - 4| - \sqrt{(4 - x)^2} - \dfrac{\sqrt{y^2 - 4y + 4}}{2 - y}$
$= |x - 4| - |4 - x| - \dfrac{|y - 2|}{2 - y}$
$= |2 - 4| - |4 - 2| - \dfrac{|y - 2|}{2 - y}$
$= 2 - 2 - \dfrac{y - 2}{2 - y}$
$= 0 - (-1)$
$= 1$
【变式 5】
已知 $ x $ 为实数，且 $ x^2 + 3x + 1 = 0 $。
(1)求 $ x + \dfrac{1}{x} $ 的值；
(2)求 $ \sqrt{x^2 + \dfrac{1}{(x - 1)^2} - 2x + 3} - \dfrac{4}{x - 1} $ 的值。
答案：【变式5】(1)因为$x^2 + 3x + 1 = 0$，且当$x = 0$时，$x^2 + 3x + 1 = 1 \neq 0$，所以$x \neq 0$，即$x + \frac{1}{x} = -3$。
(2)原式$= \sqrt{(x - 1)^2} + \frac{1}{(x - 1)^2} + 2 - \frac{4}{x - 1} = \sqrt{(x - 1 + \frac{1}{x - 1})^2} - \frac{4}{x - 1} = x - 1 + \frac{1}{x - 1} - \frac{4}{x - 1}$。由(1)，得$x + \frac{1}{x} = -3$，所以$x ＜ 0$。所以$x - 1 ＜ 0$，即$\frac{1}{x - 1} ＜ 0$。所以$x - 1 + \frac{1}{x - 1} ＜ 0$。则原式$= -(x - 1 + \frac{5}{x - 1}) = \frac{(1 - x)^2 + 5}{1 - x} = \frac{1 - 2x + x^2 + 5}{1 - x}$。又$x^2 + 3x + 1 = 0$，所以$x^2 = -3x - 1$。所以原式$= \frac{1 - 2x - 3x - 1 + 5}{1 - x} = \frac{5 - 5x}{1 - x} = 5$。
