【变式 2】
已知关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{x}{x - 2} + \frac{2m}{2 - x} = 3m$ 无解，则 $ m $ 的值是
1或$\frac {1}{3}$
。
答案：1或$\frac {1}{3}$
解析：
方程两边同乘$x - 2$，得$x - 2m = 3m(x - 2)$，整理得$(3m - 1)x = 4m$。
情况一：当$3m - 1 = 0$，即$m = \frac{1}{3}$时，方程左边为$0$，右边为$4×\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$，$0 \neq \frac{4}{3}$，方程无解。
情况二：当$3m - 1 \neq 0$时，$x = \frac{4m}{3m - 1}$。因为原分式方程无解，所以$x - 2 = 0$，即$x = 2$。将$x = 2$代入$x = \frac{4m}{3m - 1}$，得$2 = \frac{4m}{3m - 1}$，解得$m = 1$。
综上，$m$的值是$1$或$\frac{1}{3}$。
典例 3
在我市“创卫攻坚”行动中，某社区计划对面积为 $ 3600\ \mathrm{m}^2 $ 的区域进行绿化改造，经投标由甲、乙两个工程队来完成。已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的 $ 2 $ 倍，当两队各自独立完成面积为 $ 600\ \mathrm{m}^2 $ 区域的绿化时，甲工程队比乙工程队少用 $ 6 $ 天。若甲工程队每天绿化的费用是 $ 1.2 $ 万元，乙工程队每天绿化的费用为 $ 0.5 $ 万元，社区要使这次绿化的总费用不超过 $ 40 $ 万元，则至少应安排乙工程队绿化
32
天。
答案：【思路分析】设乙工程队每天能完成的绿化面积是 $ x\ \mathrm{m}^2 $，则甲工程队每天能完成的绿化面积为 $ 2x\ \mathrm{m}^2 $。由题意，得 $\frac{600}{x} - \frac{600}{2x} = 6$，解得 $ x = 50 $。经检验，$ x = 50 $ 是原方程的解，且符合题意。则甲工程队每天能完成的绿化面积是 $ 50 × 2 = 100(\mathrm{m}^2) $。设甲工程队施工 $ a $ 天，乙工程队施工 $ b $ 天刚好完成绿化任务。由题意，得 $ 100a + 50b = 3600 $，$ 1.2a + 0.5b \leq 40 $，则 $ a = \frac{3600 - 50b}{100} = - 0.5b + 36 $。所以 $ 1.2 × (- 0.5b + 36) + 0.5b \leq 40 $，解得 $ b \geq 32 $。则至少应安排乙工程队绿化 $ 32 $ 天。
【答案】$ 32 $
【变式 3】新素养 数据观念
某商场准备购进 $ A $，$ B $ 两种书包，每个 $ A $ 种书包比每个 $ B $ 种书包的进价少 $ 20 $ 元，用 $ 700 $ 元购进 $ A $ 种书包的个数是用 $ 450 $ 元购进 $ B $ 种书包个数的 $ 2 $ 倍，$ A $ 种书包每个标价是 $ 90 $ 元，$ B $ 种书包每个标价是 $ 130 $ 元。请解答下列问题：
(1) $ A $，$ B $ 两种书包每个的进价各是多少元？
(2) 若该商场购进 $ B $ 种书包的个数比 $ A $ 种书包的 $ 2 $ 倍还多 $ 5 $ 个，且 $ A $ 种书包不少于 $ 18 $ 个，购进 $ A $，$ B $ 两种书包的总费用不超过 $ 5450 $ 元，则该商场有几种不同的进货方案？
(3) 该商场按(2)中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出 $ 5 $ 个书包赠送给某希望小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有 $ 4 $ 个样品，每个样品都打 $ 5 $ 折，商场仍获利 $ 1370 $ 元。请直接写出赠送的书包和样品中，$ B $ 种书包各有几个($ A $，$ B $ 两种书包均有赠送和样品)。
答案：(1)设每个A种书包的进价为$x$元,则每个 B种书包的进价为$(x+20)$元.由题意,得$\frac {700}{x}=2×$ $\frac {450}{x+20}$,解得$x=70$.经检验,$x=70$是原方程的解,且 符合题意.所以$x+20=90$.则每个A种书包的进价 为70元,每个B种书包的进价为90元.
(2)设该商场购进$m$个A种书包,则购进$(2m+5)$个 B种书包.由题意,得$\begin{cases}m\geq18,\\70m+90(2m+5)\leq5450.\end{cases}$解 得$18\leq m\leq20$.又$m$为正整数,所以$m$的值为18,19, 20,即该商场有3种不同的进货方案.方案1:购进 18个A种书包,41个B种书包;方案2:购进19个 A种书包,43个B种书包;方案3:购进20个A种书 包,45个B种书包.
(3)赠送的书包中B种书包有4个,样品中B种书包 有2个. 解析:设销售利润为$w$元,则$w=(90- 70)m+(130-90)·(2m+5)=100m+200$.又$100＞$ 0,所以$w$随$m$的增大而增大,即当$m=20$时,$w$取最 大值,此时$2m+5=45$.设赠送的书包中B种书包有 $a$个,样品中B种书包有$b$个,则赠送的书包中A种 书包有$(5-a)$个,样品中A种书包有$(4-b)$个.由题 意,得$90×[20-(5-a)-(4-b)]+0.5×90×(4- b)+130×(45-a-b)+0.5×130b-70×20-90×$ 45=1370,所以$b=10-2a$.又$a,b,5-a,4-b$均为 正整数,所以$\begin{cases}a=4,\\b=2.\end{cases}$则赠送的书包中B种书包有 4个,样品中B种书包有2个.
