【变式 2】
已知实数 $ a $，$ b $，$ c $ 满足条件 $ c ＜ 0 ＜ b ＜ a $，且 $ a + b + c = 1 $。若 $ M = \frac{b + c}{a} $，$ N = \frac{a + c}{b} $，$ P = \frac{a + b}{c} $，则 $ M $，$ N $，$ P $ 之间的大小关系是(
D
)
A.$ M ＞ N ＞ P $
B.$ P ＞ M ＞ N $
C.$ N ＞ P ＞ M $
D.$ N ＞ M ＞ P $
答案：【变式2】D
解析：
由题意得：
$M = \frac{b + c}{a} = \frac{1 - a}{a} = \frac{1}{a} - 1$，
$N = \frac{a + c}{b} = \frac{1 - b}{b} = \frac{1}{b} - 1$，
$P = \frac{a + b}{c} = \frac{1 - c}{c} = \frac{1}{c} - 1$。
因为$c ＜ 0 ＜ b ＜ a$，所以$\frac{1}{b} ＞ \frac{1}{a} ＞ 0 ＞ \frac{1}{c}$。
则$\frac{1}{b} - 1 ＞ \frac{1}{a} - 1 ＞ \frac{1}{c} - 1$，即$N ＞ M ＞ P$。
D
典例 3
新素养 抽象能力 已知甲、乙两船从长江的同一港口同时同向出发，分别航行 $ 1 $ 小时后立即返航。若甲船在静水中的速度为 $ v_1 $，乙船在静水中的速度为 $ v_2 $，水流速度为 $ v_0 $($ v_1 ＞ v_2 ＞ v_0 ＞ 0 $)，甲、乙两船返航所用时间分别为 $ t_1 $，$ t_2 $，试判断哪条船先返回 $ A $ 港，并说明理由。
答案：【思路分析】分别表示出甲、乙两船返航所用的时间，通过作差法，比较时间的长短，得到结果。
【答案】若出发时顺流，则甲船先返回 $ A $ 港；若出发时逆流，则乙船先返回 $ A $ 港。理由如下：$ ① $ 若出发时顺流，则甲船顺流航行 $ 1 $ 小时的路程为 $ (v_1 + v_0) × 1 $，返航时实际速度为 $ v_1 - v_0 $；乙船顺流航行 $ 1 $ 小时的路程为 $ (v_2 + v_0) × 1 $，返航时实际速度为 $ v_2 - v_0 $。所以甲船返航所用时间为 $ t_1 = \frac{v_1 + v_0}{v_1 - v_0} $，乙船返航所用时间为 $ t_2 = \frac{v_2 + v_0}{v_2 - v_0} $。所以 $ t_1 - t_2 = \frac{v_1 + v_0}{v_1 - v_0} - \frac{v_2 + v_0}{v_2 - v_0} = \frac{2v_0(v_2 - v_1)}{(v_1 - v_0)(v_2 - v_0)} $。又 $ v_1 ＞ v_2 ＞ v_0 ＞ 0 $，所以 $ v_2 - v_1 ＜ 0 $，$ v_1 - v_0 ＞ 0 $，$ v_2 - v_0 ＞ 0 $，即 $ t_1 - t_2 ＜ 0 $。所以 $ t_1 ＜ t_2 $。所以甲船先返回 $ A $ 港。$ ② $ 若出发时逆流，则甲船逆流航行 $ 1 $ 小时的路程为 $ (v_1 - v_0) × 1 $，返航时实际速度为 $ v_1 + v_0 $；乙船逆流航行 $ 1 $ 小时的路程为 $ (v_2 - v_0) × 1 $，返航时实际速度为 $ v_2 + v_0 $。所以甲船返航所用时间为 $ t_1 = \frac{v_1 - v_0}{v_1 + v_0} $，乙船返航所用时间为 $ t_2 = \frac{v_2 - v_0}{v_2 + v_0} $。所以 $ t_1 - t_2 = \frac{v_1 - v_0}{v_1 + v_0} - \frac{v_2 - v_0}{v_2 + v_0} = \frac{2v_0(v_1 - v_2)}{(v_1 + v_0)(v_2 + v_0)} $。又 $ v_1 ＞ v_2 ＞ v_0 ＞ 0 $，所以 $ v_1 - v_2 ＞ 0 $，$ v_1 + v_0 ＞ 0 $，$ v_2 + v_0 ＞ 0 $，即 $ t_1 - t_2 ＞ 0 $。所以 $ t_1 ＞ t_2 $。所以乙船先返回 $ A $ 港。综上，若出发时顺流，则甲船先返回 $ A $ 港；若出发时逆流，则乙船先返回 $ A $ 港。
【变式 3】
从甲地到乙地有两条路，每条路都长 $ 3 $ km，其中第一条路是平路，第二条路有 $ 1 $ km 的上坡路、$ 2 $ km 的下坡路。若小丽在上坡路上的骑车速度为 $ v $ km/h，在平路上的骑车速度为 $ 2v $ km/h，在下坡路上的骑车速度为 $ 3v $ km/h，则小丽从甲地到乙地选择第
(填“一”或“二”)条路花费的时间较少。
答案：计算第一条路时间：$ t_1=\frac{3}{2v} $。
计算第二条路时间：上坡时间$ \frac{1}{v} $，下坡时间$ \frac{2}{3v} $，总时间$ t_2=\frac{1}{v}+\frac{2}{3v}=\frac{3}{3v}+\frac{2}{3v}=\frac{5}{3v} $。
比较$ t_1 $与$ t_2 $：$ \frac{3}{2v}=\frac{9}{6v} $，$ \frac{5}{3v}=\frac{10}{6v} $，因为$ \frac{9}{6v}＜\frac{10}{6v} $，所以$ t_1＜t_2 $。
一
