典例 1
若$(1+\frac{1}{x - 1})÷\frac{2x}{x^{2}-2x + 1}$的计算结果为正整数，则对$x$的值的描述最准确的是(
)
A.$x$为自然数
B.$x$为大于$1$的奇数
C.$x$为大于$0$的偶数
D.$x$为正整数
答案：【思路分析】原式$=\frac{x - 1 + 1}{x - 1}·\frac{(x - 1)^{2}}{2x}=\frac{x - 1}{2}$。因为计算结果为正整数，所以$\frac{x - 1}{2}$是正整数，即$x$为大于$1$的奇数。
【答案】B
【变式 1】
已知代数式$\frac{x - 2}{x^{2}-4x + 4}÷\frac{1}{x + 6}$的值为$F$，且$x$为整数，则使$F$为整数值的整数$x$有(
B
)
A.$0$个
B.$7$个
C.$8$个
D.无数个
答案：【变式1】B
解析：
$\begin{aligned}F&=\frac{x - 2}{x^{2}-4x + 4}÷\frac{1}{x + 6}\\&=\frac{x - 2}{(x - 2)^2} · (x + 6)\\&=\frac{x + 6}{x - 2}\\&=1 + \frac{8}{x - 2}\end{aligned}$
要使$F$为整数，则$\frac{8}{x - 2}$为整数，$x - 2$是$8$的因数。$8$的因数有$\pm1,\pm2,\pm4,\pm8$，则：
$x - 2 = 1$，$x = 3$
$x - 2 = -1$，$x = 1$
$x - 2 = 2$，$x = 4$
$x - 2 = -2$，$x = 0$
$x - 2 = 4$，$x = 6$
$x - 2 = -4$，$x = -2$
$x - 2 = 8$，$x = 10$
$x - 2 = -8$，$x = -6$
又$x^2 - 4x + 4 \neq 0$且$x + 6 \neq 0$，即$x \neq 2$且$x \neq -6$，故$x = -6$舍去。综上，整数$x$有$7$个。
B
典例 2
小华计算$(1-\frac{x + 1}{x})÷\frac{x^{2}-1}{x^{2}-x}$的过程如下：
解：$(1-\frac{x + 1}{x})÷\frac{x^{2}-1}{x^{2}-x}$
$=(\frac{x}{x}-\frac{x + 1}{x})÷\frac{(x + 1)(x - 1)}{x(x - 1)}$(第一步)
$=\frac{x - x + 1}{x}÷\frac{x + 1}{x}$(第二步)
$=\frac{1}{x}·\frac{x}{x + 1}$(第三步)
$=\frac{1}{x + 1}$(第四步)
(1)小华计算的第一步是
(填所有符合要求的序号：① 通分，② 约分，③ 因式分解，④ 合并同类项)，计算过程的第
步出现错误；
(2)写出正确的解答过程。
答案：【思路分析】(1)根据运算过程找出其中的错误；(2)按步骤正确计算即可。
【答案】(1)①③ 二
(2)原式$=(\frac{x}{x}-\frac{x + 1}{x})÷\frac{(x + 1)(x - 1)}{x(x - 1)}=\frac{-1}{x}·\frac{x}{x + 1}=-\frac{1}{x + 1}$。
