典例 1
已知 $ x $ 为整数，且 $\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2} + \frac{x - 6}{x^2 - 4}$ 为整数，则所有符合条件的 $ x $ 的值之和为
-8
.
答案：【思路分析】因为 $\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2} + \frac{x - 6}{x^2 - 4} = \frac{x - 2 + x + 2 + x - 6}{x^2 - 4} =\frac{3(x - 2)}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{3}{x + 2}$，且 $ x $ 为整数，$\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2} + \frac{x - 6}{x^2 - 4}$ 为整数，$(x + 2)(x - 2) \neq 0$，所以 $ x + 2 = \pm 3 $ 或 $ x + 2 = \pm 1 $，$ x + 2 \neq 0 $，$ x - 2 \neq 0 $，解得 $ x = 1 $ 或 $-5$ 或 $-1$ 或 $-3$。则所有符合条件的 $ x $ 的值之和为 $ 1 - 5 - 1 - 3 = -8 $。
【答案】$-8$
【变式 1】
已知 $ P = x + 1 $，$ Q = \frac{4x}{x + 1} $。若 $ y = \frac{2x + 5}{P} - \frac{Q}{2} $，且 $ y $ 是整数，求 $ x $ 的整数值。
答案：【变式1】因为$P = x + 1$，$Q = \frac{4x}{x + 1}$，所以$y = \frac{2x + 5}{P} - \frac{Q}{2} = \frac{2x + 5}{x + 1} - \frac{2x}{x + 1} = \frac{5}{x + 1}$．又$y$为整数，$x$为整数，所
以$x + 1 = \pm 5$或$x + 1 = \pm 1$，且$x + 1 \neq 0$，解得$x =$4或$- 6$或$0$或$- 2$．则$x$的整数值为$4$或$- 6$或$0$或$- 2$．
典例 2
新素养
推理能力 由 $\frac{1 + c}{2 + c} - \frac{1}{2}$ 的值的正负可以比较 $ A = \frac{1 + c}{2 + c} $ 与 $\frac{1}{2}$ 的大小，下列说法正确的是(
C
)
A.当 $ c = -2 $ 时，$ A = \frac{1}{2} $
B.当 $ c = 0 $ 时，$ A \neq \frac{1}{2} $
C.当 $ c ＜ -2 $ 时，$ A ＞ \frac{1}{2} $
D.当 $ c ＜ 0 $ 时，$ A ＜ \frac{1}{2} $
答案：【思路分析】因为 $\frac{1 + c}{2 + c} - \frac{1}{2} = \frac{2 + 2c - 2 - c}{2(2 + c)} = \frac{c}{2(2 + c)}$，所以当 $ c = 0 $ 时，$\frac{1 + c}{2 + c} - \frac{1}{2} = 0$，即 $ A = \frac{1}{2} $；当 $ c ＜ -2 $ 时，$ 2 + c ＜ 0 $，所以 $\frac{c}{2(2 + c)} ＞ 0$，即 $ A ＞ \frac{1}{2} $；当 $ c ＜ 0 $ 时，若 $ c = -3 $，则 $ 2 + c ＜ 0 $，所以 $\frac{c}{2(2 + c)} ＞ 0$，即 $ A ＞ \frac{1}{2} $。又 $ c + 2 \neq 0 $，所以 $ c \neq -2 $。综上，选项 C 符合题意。
【答案】C
