【变式 3】
亮点原创 先化简分式$\frac{5a - 15}{a^{2} + a - 12}$，再判断：当整数$a$取何值时，分式的值是正整数？
答案：因为$\frac{5a-15}{a^2+a-12}=\frac{5(a-3)}{(a-3)(a+4)}=\frac{5}{a+4}$，且$(a-3)(a+4)\neq0$，$a$为整数，$\frac{5a-15}{a^2+a-12}$的值是正整数，所以$a+4=1$或$a+4=5$，解得$a=-3$或$a=1$。则$a$的值为$-3$或$1$。
解析：
$\frac{5a - 15}{a^{2} + a - 12}=\frac{5(a - 3)}{(a - 3)(a + 4)}=\frac{5}{a + 4}$，其中$(a - 3)(a + 4)\neq0$，即$a\neq3$且$a\neq-4$。
因为分式的值是正整数，且$a$为整数，所以$a + 4$是$5$的正因数，即$a + 4 = 1$或$a + 4 = 5$。
当$a + 4 = 1$时，$a = 1 - 4 = -3$；
当$a + 4 = 5$时，$a = 5 - 4 = 1$。
综上，$a$的值为$-3$或$1$。
典例 4
新素养
抽象能力 已知分式$\frac{1}{B}$与$\frac{1}{1 - x}$的最简公分母是$3(x^{2} - 1)$，则分母$B =$
$3x + 3$或$3x^{2} - 3$
。($B$中字母系数为正)
答案：【思路分析】因为$3(x^{2} - 1) = 3(x + 1)(x - 1)$，且$\frac{1}{B}$与$\frac{1}{1 - x}$的最简公分母是$3(x^{2} - 1)$，所以$B = 3(x + 1)$或$B = 3(x^{2} - 1)$，即$B = 3x + 3$或$B = 3x^{2} - 3$。
【答案】$3x + 3$或$3x^{2} - 3$
【变式 4】
已知分式$\frac{2}{x^{2} - 4}$和$\frac{1}{6 - 3x}$，其中$m(m \neq \pm 1)$是这两个分式中分母的公因式，$n$是这两个分式的最简公分母，则$\frac{n}{m} =$
$3(x+2)$
。
答案：$3(x+2)$
典例 5
若$a^{2} - ab = 0(b \neq 0)$，则$\frac{a^{3} - 4ab^{2}}{a^{3} - 4a^{2}b + 4ab^{2}}$的值为(
B
)
A.$-1$
B.$-3$
C.$-1$或$-3$
D.$1$或$\frac{1}{3}$
答案：【思路分析】原式$=\frac{a(a + 2b)(a - 2b)}{a(a - 2b)^{2}} = \frac{a + 2b}{a - 2b}$。因为$a^{2} - ab = 0$，所以$a(a - b) = 0$。所以$a = 0$或$a - b = 0$，即$a = 0$或$a = b$。当$a = 0$时，$a(a - 2b)^{2} = 0$，分式无意义，舍去；当$a = b$且$b \neq 0$时，原式$=\frac{a + 2b}{a - 2b} = \frac{3b}{-b} = - 3$。综上，原式$ = - 3$。
【答案】B
【变式 5】
(1)已知$ab = 1$，求$\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}}$的值；
(2)若$abc = 1$，求$\frac{5a}{ab + a + 1} + \frac{5b}{bc + b + 1} + \frac{5c}{ca + c + 1}$的值。
答案：(1)因为$ab=1$，所以原式$=\frac{ab}{ab+a^2}+\frac{ab}{ab+b^2}=\frac{b}{a+b}+\frac{a}{a+b}=\frac{a+b}{a+b}=1$。
(2)因为$abc=1$，所以$\frac{5a}{ab+a+1}+\frac{5b}{bc+b+1}+\frac{5c}{ca+c+1}=\frac{5a}{ab+a+abc}+\frac{5b}{bc+b+1}+\frac{5c}{ca+c+1}=\frac{5}{b+1+bc}+\frac{5c}{ca+c+1}=\frac{5}{b+1+bc}+\frac{5}{bc+b+1}=\frac{5+5b}{bc+b+1}+\frac{5c}{ca+c+abc}=\frac{5+5b}{bc+b+1}+\frac{5}{a+1+ab}=\frac{5+5b}{bc+b+1}+\frac{5abc}{a+abc+ab}=\frac{5+5b}{bc+b+1}+\frac{5bc}{1+bc+b}=\frac{5+5b+5bc}{bc+b+1}=\frac{5(bc+b+1)}{bc+b+1}=5$。
