1. (2025·江苏苏州期末·3分)如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 3$，分别以 $A$，$C$ 两点为圆心，大于 $\frac{1}{2}AC$ 的长为半径画弧，两弧相交于 $M$，$N$ 两点，作直线 $MN$，分别交 $AD$，$BC$ 于 $E$，$F$ 两点，连接 $AF$，$CE$.若 $EF = BF + DE$，则边 $BC$ 的长为(
B
)
A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{27}$
C.$6$
D.$\sqrt{45}$
(第1题)
答案：1. B
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，$\therefore AD// BC$，$AD=BC$，$AB=CD=3$，$\angle B=90°$。
由作图知，$MN$是$AC$的垂直平分线，$\therefore AF=CF$，$AE=CE$，$OA=OC$。
$\because AD// BC$，$\therefore \angle EAO=\angle FCO$。
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，
$\{\begin{array}{l} \angle EAO=\angle FCO \\ OA=OC \\ \angle AOE=\angle COF \end{array} $，
$\therefore \triangle AOE\cong \triangle COF(ASA)$，$\therefore AE=CF$，$OE=OF$。
$\because AF=CF$，$AE=CF$，$\therefore AE=AF=CF=CE$，
$\therefore$四边形$AFCE$是菱形，$\therefore EF=2OE$，$AF=CF$。
设$BF=x$，$BC=AD=y$，则$CF=AF=y-x$。
在$Rt\triangle ABF$中，$AB^2+BF^2=AF^2$，即$3^2+x^2=(y-x)^2$，
化简得$9+x^2=y^2-2xy+x^2$，$\therefore y^2-2xy=9$ ①。
$\because AE=CF=y-x$，$\therefore DE=AD-AE=y-(y-x)=x$。
$\because EF=BF+DE$，$\therefore EF=x+x=2x$。
$\because$四边形$AFCE$是菱形，$\therefore AC⊥ EF$，$OA=\frac{1}{2}AC$，$OE=\frac{1}{2}EF=x$。
在$Rt\triangle AOE$中，$OA^2+OE^2=AE^2$，即$OA^2+x^2=(y-x)^2$，$\therefore OA^2=(y-x)^2-x^2=y^2-2xy$。
由①得$OA^2=9$，$\therefore OA=3$，$\therefore AC=2OA=6$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AB^2+BC^2=AC^2$，即$3^2+y^2=6^2$，
$\therefore y^2=36-9=27$，$\therefore y=\sqrt{27}$（负值舍去）。
$\therefore BC=\sqrt{27}$。
答案：$\sqrt{27}$
2. (3分)新素养
运算能力 如图，延长矩形 $ABCD$ 的边 $BC$ 至点 $E$，使 $CE = BD$，连接 $AE$.若 $\angle DBC = 40^{\circ}$，则 $\angle E$ 的度数为
20°
.
答案：2. 20°
解析：
解：连接AC。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，∠BCD=90°。
∵CE=BD，
∴AC=CE，
∴∠E=∠CAE。
∵∠DBC=40°，
∴∠ACB=∠DBC=40°（矩形对角线相等且互相平分）。
∵∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E，
∴∠E=20°。
20°
3. (2025·江苏南京期末·3分)上分点二 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 3$，$AD = 4$，动点 $P$ 在对角线 $AC$ 上，过点 $P$ 作 $AC$ 的垂线分别交 $AD$，$BC$ 于 $E$，$F$ 两点，则 $EF =$
$\frac{15}{4}$
.
答案：$3. \frac{15}{4}$
解析：
解：在矩形$ABCD$中，$AB = 3$，$AD = 4$，则$BC = AD = 4$，$CD = AB = 3$，$\angle ADC = 90°$。
在$Rt\triangle ADC$中，$AC=\sqrt{AD^2 + CD^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$。
设$AP = x$，则$PC = 5 - x$。
因为$EF⊥ AC$，所以$\angle APE=\angle CPF = 90°$。
又因为$AD// BC$，所以$\angle EAP=\angle FCP$。
故$\triangle APE∼\triangle CPF$，则$\frac{EP}{FP}=\frac{AP}{CP}=\frac{x}{5 - x}$。
在$Rt\triangle APE$中，$\tan\angle EAP=\frac{EP}{AP}=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{4}$，所以$EP=\frac{3}{4}x$。
在$Rt\triangle CPF$中，$\tan\angle FCP=\frac{FP}{CP}=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{4}$，所以$FP=\frac{3}{4}(5 - x)$。
因此$EF=EP + FP=\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}(5 - x)=\frac{15}{4}$。
$\frac{15}{4}$
4. (8分)已知四边形 $ABCD$ 是矩形，$E$ 是 $BC$ 延长线上一点，连接 $AC$，$DE$，$BE = AC$.
(1) 如图①，若 $\angle ACB = 40^{\circ}$，求 $\angle E$ 的度数；
(2) 如图②，若 $F$ 是 $DE$ 的中点，连接 $AF$，$CF$，求证：$AF⊥ FC$.
答案：4. (1) 连接 BD，交 AC 于点 O. 因为四边形 ABCD 是矩形，所以 BD = AC，OB = OC，即 ∠DBE = ∠ACB. 又 ∠ACB = 40°，所以 ∠DBE = 40°. 又 BE = AC，所以 BE = BD，即 ∠E = ∠BDE. 又 ∠E + ∠BDE + ∠DBE = 180°，所以$ ∠E = \frac{1}{2}(180° - ∠DBE) = 70°.$
(2) 延长 CF，交 AD 的延长线于点 G. 因为四边形 ABCD 为矩形，所以 AD = BC，AD // BC，即 AG // BE. 所以 ∠G = ∠ECF，∠GDF = ∠CEF. 又 F 是 DE 的中点，所以 DF = EF. 所以 △DFG ≌ △EFC (AAS). 所以 DG = EC，FG = FC，即 F 是 CG 的中点，AD + DG = BC + EC. 所以 AG = BE. 又 BE = AC，所以 AG = AC. 所以 AF ⊥ CG，即 AF ⊥ FC.
5. (2024·西藏·3分)上分点一 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 12$，$BC = 5$，$P$ 是边 $AB$ 上任意一点，过点 $P$ 分别作 $PD⊥ AC$，$PE⊥ BC$，垂足分别为 $D$，$E$，连接 $DE$，则 $DE$ 的长的最小值是(
B
)
A.$\frac{13}{2}$
B.$\frac{60}{13}$
C.$\frac{12}{5}$
D.$\frac{30}{13}$
答案：5. B
解析：
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AC=12$，$BC=5$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$。
设$PD=EC=x$，$PE=DC=y$，
$\because PD⊥ AC$，$PE⊥ BC$，$\angle C=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形$CDPE$是矩形，$\therefore DE=CP$。
$\because PD// BC$，$\therefore \triangle ADP\backsim \triangle ACB$，
$\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{PD}{BC}$，即$\frac{12 - y}{12}=\frac{x}{5}$，$\therefore 5(12 - y)=12x$，
$\therefore y=\frac{60 - 12x}{5}$。
在$Rt\triangle CDP$中，$CP=\sqrt{y^{2}+x^{2}}=\sqrt{x^{2}+(\frac{60 - 12x}{5})^{2}}$，
$=\sqrt{\frac{25x^{2}+144x^{2}-1440x + 3600}{25}}=\sqrt{\frac{169x^{2}-1440x + 3600}{25}}$，
当$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1440}{2×169}=\frac{720}{169}$时，$CP$最小，
$CP_{\mathrm{min}}=\sqrt{\frac{169×(\frac{720}{169})^{2}-1440×\frac{720}{169}+3600}{25}}=\frac{60}{13}$，
$\therefore DE$的最小值为$\frac{60}{13}$。
答案：B
