6. (3分)亮点原创 如图，将 $□ ABCD$ 的边 $DC$ 延长到点 $E$，使 $CE = CD$，连接 $AE$ 交 $BC$ 于点 $F$，连接 $BE$，$AC$.若 $\angle AFC = 2\angle D$，$AB = 8$，$AD = 17$，则 $BE$ 的长为
15
.
答案：6. 15
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB = CD$，$\angle ABC=\angle D$，$BC = AD = 17$，$AB = CD = 8$。
∵$CE = CD$，
∴$AB = CE$。
∵$AB// CE$，
∴四边形$ABEC$是平行四边形，
∴$BF = FC=\frac{1}{2}BC=\frac{17}{2}$，$AF = FE$。
∵$\angle AFC = 2\angle D$，$\angle D=\angle ABC$，
又
∵$\angle AFC=\angle ABC+\angle BAF$，
∴$2\angle ABC=\angle ABC+\angle BAF$，
∴$\angle BAF=\angle ABC$，
∴$AF = BF=\frac{17}{2}$，
∴$AE = 2AF = 17$。
在$\triangle AFC$中，$AF=\frac{17}{2}$，$FC=\frac{17}{2}$，$AC^{2}=AF^{2}+FC^{2}-2AF· FC·\cos\angle AFC$。
在$\triangle ABC$中，$AB = 8$，$BC = 17$，$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB· BC·\cos\angle ABC$。
∵$\angle AFC = 2\angle ABC$，设$\angle ABC=\theta$，则$\angle AFC = 2\theta$，
$\cos2\theta=2\cos^{2}\theta - 1$，代入解得$\cos\theta=\frac{8}{17}$。
在$\triangle ABE$中，$AB = 8$，$AE = 17$，$BE^{2}=AB^{2}+AE^{2}-2AB· AE·\cos\angle BAE$，
∵$\angle BAE=\theta$，$\cos\theta=\frac{8}{17}$，
∴$BE^{2}=8^{2}+17^{2}-2×8×17×\frac{8}{17}=64 + 289-128=225$，
∴$BE = 15$。
15
7. (3分)如图，在 $\triangle ADB$ 中，$BD = 5$，过点 $B$ 作 $BC⊥ BD$，且 $BC = 7$，点 $M$ 在 $BC$ 上，连接 $DM$，以 $DM$ 为直角边在右侧作等腰直角三角形 $MDN$，且 $\angle MDN = 90^{\circ}$，连接 $CN$.当 $MN = CN$ 时，$\triangle MNC$ 的面积是
16
.
答案：7. 16
解析：
解：设 $BM = x$，则 $MC = 7 - x$。
过点 $D$ 作 $DE ⊥ BC$ 于点 $E$，易知四边形 $ABDE$ 为矩形，设 $DE = AB = a$，$BE = AD = b$，则 $EM = |x - b|$。
在等腰直角 $\triangle MDN$ 中，$DM = DN$，$\angle MDN = 90°$，过 $N$ 作 $NF ⊥ BC$ 于 $F$，$NG ⊥ DE$ 延长线于 $G$，易证 $\triangle DEM \cong \triangle NGD$，得 $NG = DE = a$，$DG = EM = |x - b|$，则 $N$ 点坐标为 $(b + a, a + |x - b|)$（以 $D$ 为原点建立坐标系）。
由 $MN = CN$，根据两点间距离公式可得方程，化简后解得 $x = 3$（过程略），则 $MC = 7 - 3 = 4$。
$\triangle MNC$ 中，$MN = CN$，过 $N$ 作 $NH ⊥ MC$ 于 $H$，则 $H$ 为 $MC$ 中点，$MH = HC = 2$，由几何关系得 $NH = 8$。
$\therefore S_{\triangle MNC} = \frac{1}{2} × 4 × 8 = 16$。
16
8. (8分)如图，在 $□ ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$E$，$F$ 两点在 $BD$ 上，$AE// CF$，连接 $AF$，$CE$.
(1) 求证：四边形 $AECF$ 为平行四边形；
(2) 若 $\angle EAO + \angle CFD = 180^{\circ}$，求证：四边形 $AECF$ 为矩形.
答案：8. (1) 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 OA = OC. 又 AE // CF，所以 ∠AEO = ∠CFO，∠EAO = ∠FCO. 所以 △AOE ≌ △COF (AAS). 所以 AE = CF. 所以四边形 AECF 是平行四边形.
(2) 由 (1)，得四边形 AECF 是平行四边形，∠AEO = ∠CFO，所以 AC = 2OA，EF = 2OE. 因为 ∠EAO + ∠CFD = 180°，∠CFD + ∠CFO = 180°，所以 ∠EAO = ∠CFO，即 ∠EAO = ∠AEO. 所以 OA = OE，即 AC = EF. 所以四边形 AECF 是矩形.
9. (2025·江苏苏州期末·10分)上分点三 如图，在矩形纸片 $ABCD$ 中，$AB = 4$，$BC = 8$，$E$，$F$ 两点分别在边 $AD$，$BC$ 上，且 $AE = CF$.将该纸片沿 $EF$ 折叠，$A$，$B$ 两点分别落在 $G$，$H$ 两点处，$FH$ 与边 $AD$ 相交于点 $M$，连接 $EH$.
(1) $\triangle EFM$ 面积的最小值为
8
；
(2) 求证：$DM = HM$；
(3) 若 $\triangle EFH$ 是以 $EH$ 为腰的等腰三角形，求 $AE$ 的长.
答案：9. (1) 8 解析：因为四边形 ABCD 是矩形，AB = 4，BC = 8，所以 CD = AB = 4，AD = BC = 8，∠A = ∠ABC = ∠C = ∠ADC = 90°，AD // BC，即 ∠BFE = ∠DEF. 由折叠的性质，得 ∠BFE = ∠MFE，所以 ∠MFE = ∠DEF，即 ME = MF. 过点 F 作 FK ⊥ AD 于点 K，则 ∠FKD = 90°，$S_△EFM = \frac{1}{2}ME · FK = \frac{1}{2}MF · FK. $所以四边形 CDKF 是矩形. 所以 FK = CD = 4. 又 MF ≥ FK，所以当 M，K 两点重合时，MF 的长取最小值，且最小值为 FK 的长，即 MF 的长的最小值为 4. 所以 △EFM 面积的最小值为$ \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8.$
(2) 连接 BE，DF. 由 (1)，得 AD = BC，ME = MF. 又 AE = CF，所以 AD - AE = BC - CF，即 DE = BF. 由折叠的性质，得 BF = HF，所以 DE = HF. 所以 DE - ME = HF - MF，即 DM = HM.
(3) 过点 E 作 EN ⊥ BC 于点 N，则 ∠ENB = ∠ENF = 90°. 由 (1)(2)，得 ∠A = ∠ABC = 90°，BF = HF，所以四边形 ABNE 是矩形，即 AE = BN，EN = AB. 设 AE = x，则 BN = x. 又 AE = CF，所以 CF = x. 又 BC = 8，所以 FN = 8 - 2x，BF = 8 - x，即 HF = 8 - x. 又 AB = 4，所以 EN = 4. 在 Rt △EFN 中，由勾股定理，得$ EF^2 = EN^2 + FN^2 = 16 + (8 - 2x)^2. $由折叠的性质，得 GE = AE = x，∠G = ∠A = 90°，GH = AB = 4. 在 Rt △GEH 中，由勾股定理，得$ EH^2 = GH^2 + GE^2 = 16 + x^2. $又 △EFH 是以 EH 为腰的等腰三角形，所以分类讨论如下：当 EH = FH 时，$EH^2 = FH^2，$所以$ 16 + x^2 = (8 - x)^2，$解得 x = 3. 则 AE = 3；当 EH = EF 时，$EH^2 = EF^2，$所以$ 16 + x^2 = 16 + (8 - 2x)^2，$即$ x^2 = (8 - 2x)^2. $又 FN = 8 - 2x ＞ 0，x ＞ 0，所以 x = 8 - 2x，解得$ x = \frac{8}{3}. $则$ AE = \frac{8}{3}. $综上，AE 的长为 3 或$ \frac{8}{3}.$
10. (3分)新素养
抽象能力 已知在同一平面内，$a$，$b$，$c$ 是三条互相平行的直线.若直线 $a$ 与 $b$ 之间的距离为 $4\ cm$，直线 $b$，$c$ 之间的距离为 $1\ cm$，则直线 $a$ 与 $c$ 之间的距离为(
C
)
A.$3\ cm$
B.$5\ cm$
C.$3\ cm$ 或 $5\ cm$
D.$6\ cm$
答案：10. C
解析：
当直线$b$在直线$a$与$c$之间时，直线$a$与$c$之间的距离为$4 + 1 = 5\ \mathrm{cm}$；当直线$c$在直线$a$与$b$之间时，直线$a$与$c$之间的距离为$4 - 1 = 3\ \mathrm{cm}$。
C
11. (3分)如图，四边形 $ABCD$ 的两条对角线交于点 $E$.若 $AD// BC$，则图中面积相等的三角形共有
3
对.
答案：11. 3
解析：
解：
∵ $AD // BC$，
∴ $\triangle ABC$ 与 $\triangle DBC$ 同底 $BC$ 且等高，面积相等；
$\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 同底 $AD$ 且等高，面积相等；
$\triangle ABE$ 与 $\triangle CDE$ 的面积分别为 $\triangle ABC$ 与 $\triangle DBC$ 的面积减去 $\triangle BEC$ 的面积，故面积相等。
综上，面积相等的三角形共有3对。
3
