7. (3 分)
上分点三 如图，在长方形 ABCD 中，AB=12，BC=5，E，F，G，H 四点分别在长方形 ABCD 的各边上，且 AE=CG，BF=DH，则四边形 EFGH 周长的最小值为(
B
)
A.13
B.26
C.17
D.34
答案：7. B
解析：
证明：设 $AE = CG = a$，$BF = DH = b$，则 $AH = 5 - b$，$BE = 12 - a$，$CF = 5 - b$，$DG = 12 - a$。
在 $Rt\triangle AEH$ 中，$EH = \sqrt{AE^2 + AH^2} = \sqrt{a^2 + (5 - b)^2}$；
在 $Rt\triangle BEF$ 中，$EF = \sqrt{BE^2 + BF^2} = \sqrt{(12 - a)^2 + b^2}$；
同理，$FG = \sqrt{CG^2 + CF^2} = \sqrt{a^2 + (5 - b)^2} = EH$，
$GH = \sqrt{DG^2 + DH^2} = \sqrt{(12 - a)^2 + b^2} = EF$。
四边形 $EFGH$ 周长 $C = 2(EH + EF) = 2[\sqrt{a^2 + (5 - b)^2} + \sqrt{(12 - a)^2 + b^2}]$。
作点 $E$ 关于 $AB$ 的对称点 $E'$（$AE' = AE = a$），点 $F$ 关于 $BC$ 的对称点 $F'$（$CF' = CF = 5 - b$），则 $E'H = EH$，$F'G = FG$，但更简便的是通过平移转化：将 $EH$ 平移使 $H$ 与 $D$ 重合，$EF$ 平移使 $F$ 与 $C$ 重合，此时 $EH + EF$ 转化为点 $(a, 5 - b)$ 到 $(0, 0)$ 与 $(12, b)$ 的距离之和，其最小值为矩形对角线长 $\sqrt{12^2 + 5^2} = 13$。
故周长最小值 $C = 2 × 13 = 26$。
答案：B
8. (3 分)如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，D，E 分别是 BC，AD 的中点，AF//BC，交 CE 的延长线于点 F，连接 BF，则四边形 AFBD 的面积为
12
.
答案：8. 12
解析：
解：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×AC=$\frac{1}{2}$×4×6=12。
∵D是BC的中点，
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$S△ABC=6。
∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DCE。
∵E是AD的中点，
∴AE=DE。
在△AFE和△DCE中，
$\{\begin{array}{l}∠AFE=∠DCE\\∠AEF=∠DEC\\AE=DE\end{array} $，
∴△AFE≌△DCE(AAS)，
∴AF=DC。
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∴AF=BD。
∵AF//BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴S四边形AFBD=2S△ABD=2×6=12。
故答案为12。
9. (3 分)亮点原创 如图，在△ABC 中，∠BAC=105°. 若△ABD，△ACE，△BCF 都是等边三角形，AE=√8，AB=4，则四边形 AEFD 的面积为
8
.
答案：9. 8 解析:过点E作EG⊥AD，交DA的延长线于点G，则∠AEG + ∠EAG = 90°. 因为△ABD，△ACE，△BCF 都是等边三角形，所以AB = BD = AD，AC = AE = CE，BC = CF = BF，∠ACE = ∠BCF = ∠ABD = ∠CBF = ∠BAD = ∠CAE = 60°. 所以∠BCF - ∠ACF = ∠ACE - ∠ACF，∠CBF - ∠ABF = ∠ABD - ∠ABF，即∠ACB = ∠ECF，∠ABC = ∠DBF. 所以△ABC≅△DBF≅△EFC(SAS). 所以DF = AC，AB = EF，即DF = AE，AD = EF. 所以四边形AEFD是平行四边形. 又∠BAC = 105°，所以∠EAG = ∠BAD + ∠BAC + ∠CAE - 180° = 45°，
即∠AEG = ∠EAG. 所以AG = EG. 在Rt△AEG中，$AE = \sqrt{8}，$由勾股定理，得AG² + EG² = AE²，所以EG = 2. 又AB = 4，所以AD = 4. 所以四边形AEFD的面积为AD · EG = 8.
10. (8
分)上分点
四 新素养
推理能力 如图，在□ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，AE⊥BD 于点 E，CF⊥BD 于点 F，BG⊥AC 于点 G，DH⊥AC 于点 H，连接 EH，HF，FG，GE，则四边形 EHFG 是平行四边形吗？请说明理由.
答案：10. 四边形EHFG是平行四边形. 理由如下：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA = OC，OB = OD. 又AE⊥BD，CF⊥BD，BG⊥AC，DH⊥AC，所以∠AEO = ∠CFO = ∠BGO = ∠DHO = 90°. 又∠BOG = ∠DOH，∠AOE = ∠COF，所以△BOG ≅ △DOH (AAS)，△AOE ≅ △COF (AAS). 所以OG = OH，OE = OF. 所以四边形EHFG是平行四边形.
11. (10 分)如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 在 BC 上，连接 AD，作∠ADE=∠ABC，以 DE 为底作等腰三角形 ADE，连接 CE，过点 E 作 EM//BC，交 CA 的延长线于点 M，连接 BM.
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）若∠ABC=30°，求∠MEC 的度数；
（3）求证：四边形 MBDE 是平行四边形.
答案：11. (1)因为AB = AC，AD = AE，所以∠ABC = ∠ACB，∠ADE = ∠AED. 又∠ADE = ∠ABC，∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°，∠ADE + ∠AED + ∠DAE = 180°，所以∠BAC = ∠DAE. 所以∠BAC - ∠CAD = ∠DAE - ∠CAD，即∠BAD = ∠CAE. 所以△BAD ≅ △CAE(SAS).
(2)由(1)，得△BAD ≅ △CAE，∠ABC = ∠ACB，所以∠ABD = ∠ACE，即∠ABC = ∠MCE. 又EM//BC，所以∠ACB = ∠CME，即∠CME = ∠ABC. 又∠ABC = 30°，所以∠CME = ∠MCE = 30°. 又∠MEC + ∠CME + ∠MCE = 180°，所以∠MEC = 120°.
(3)由(1)(2)，得△BAD ≅ △CAE，∠CME = ∠MCE，所以BD = CE，ME = CE，即BD = ME. 又EM//BC，所以四边形MBDE是平行四边形.
