8. 在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球大约有
12
个.
答案：8.12
解析：
设口袋中白球有$x$个，球的总数为$(4 + x)$个。
因为摸到红球的频率稳定在$25\%$附近，所以摸到红球的概率为$25\%=\frac{1}{4}$。
根据概率公式可得：$\frac{4}{4 + x}=\frac{1}{4}$
解得：$4×4 = 4 + x$，$16 = 4 + x$，$x = 12$
12
9. 已知$(a + b)(a + b - 6) + 9 = 0$，且$a^{2}b^{2} - 4ab + 4 = 0$，则$a - b =$
±1
.
答案：9.±1
解析：
设$x = a + b$，则方程$(a + b)(a + b - 6) + 9 = 0$可化为$x(x - 6) + 9 = 0$，即$x^2 - 6x + 9 = 0$，$(x - 3)^2 = 0$，解得$x = 3$，所以$a + b = 3$。
设$y = ab$，方程$a^2b^2 - 4ab + 4 = 0$可化为$y^2 - 4y + 4 = 0$，即$(y - 2)^2 = 0$，解得$y = 2$，所以$ab = 2$。
$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab = 3^2 - 4×2 = 9 - 8 = 1$，则$a - b = ±1$。
±1
10. 若关于$x$的分式方程$\frac{x - a}{x + 1} = a$无解，则$a$的值为
±1
.
答案：10.±1
解析：
解：方程两边同乘$x + 1$，得$x - a = a(x + 1)$，
整理得$(1 - a)x = 2a$。
当$1 - a = 0$，即$a = 1$时，方程无解。
当$1 - a \neq 0$时，$x = \frac{2a}{1 - a}$，
若$x = -1$，则原方程无解，
即$\frac{2a}{1 - a} = -1$，解得$a = -1$。
综上，$a = \pm1$。
11. 已知$a$，$b$均为正整数，且$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{27}$，则$\frac{b}{a}$的值为
$\frac{1}{4}$或4
.
答案：11.$\frac{1}{4}$或4
解析：
解：$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$，设$\sqrt{a} = m\sqrt{3}$，$\sqrt{b} = n\sqrt{3}$，其中$m$，$n$为正整数。
则$m\sqrt{3} + n\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$，即$(m + n)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$，所以$m + n = 3$。
正整数解为：
当$m = 1$，$n = 2$时，$\sqrt{a} = \sqrt{3}$，$a = 3$；$\sqrt{b} = 2\sqrt{3} = \sqrt{12}$，$b = 12$，$\frac{b}{a} = \frac{12}{3} = 4$。
当$m = 2$，$n = 1$时，$\sqrt{a} = 2\sqrt{3} = \sqrt{12}$，$a = 12$；$\sqrt{b} = \sqrt{3}$，$b = 3$，$\frac{b}{a} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$。
综上，$\frac{b}{a}$的值为$\frac{1}{4}$或$4$。
12. 如图，四边形$ABCD$是菱形，$O$是对角线的交点，过点$O$的三条直线将菱形分成空白和阴影部分. 若菱形$ABCD$的两条对角线的长分别为$2\sqrt{2}$cm和$\sqrt{6}$cm，则图中阴影部分的面积为
$\sqrt{3}$
$\mathrm{cm}^{2}$.
答案：12.$\sqrt{3}$
解析：
解：菱形的面积为$\frac{1}{2} × 2\sqrt{2} × \sqrt{6} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\, \mathrm{cm}^2$。
因为菱形的对角线互相平分且中心对称，过点$O$的直线将菱形分成的阴影部分面积为菱形面积的一半，所以阴影部分面积为$\frac{1}{2} × 2\sqrt{3} = \sqrt{3}\, \mathrm{cm}^2$。
$\sqrt{3}$
13. 新素养
运算能力 已知$m$，$n$，$p$都是正数，且$\frac{p}{m + n} + \frac{n}{m + p} + \frac{m}{n + p} = 2$，$\frac{1}{m + n} + \frac{1}{m + p} + \frac{1}{n + p} = \frac{4}{5}$，则$m + n + p =$
$\frac{25}{4}$
.
答案：13.$\frac{25}{4}$ 解析：设m + n + p = k，则p = k - (m + n)，n = k - (p + m)，m = k - (n + p)。所以$\frac{p}{m + n}$ + $\frac{n}{m + p}$ + $\frac{m}{n + p}$ = $\frac{k - (m + n)}{m + n}$ + $\frac{k - (m + p)}{m + p}$ + $\frac{k - (n + p)}{n + p}$ = $\frac{k}{m + n}$ + $\frac{k}{m + p}$ + $\frac{k}{n + p}$ - 3。又$\frac{p}{m + n}$ + $\frac{n}{m + p}$ + $\frac{m}{n + p}$ = 2，所以$\frac{k}{m + n}$ + $\frac{k}{m + p}$ + $\frac{k}{n + p}$ - 3 = 2，即k·($\frac{1}{m + n}$ + $\frac{1}{m + p}$ + $\frac{1}{n + p}$) = 5。又$\frac{1}{m + n}$ + $\frac{1}{m + p}$ + $\frac{1}{n + p}$ = $\frac{4}{5}$，所以$\frac{4}{5}$k = 5，解得k = $\frac{25}{4}$。所以m + n + p = $\frac{25}{4}$。
解析：
设$m + n + p = k$，则$p = k - (m + n)$，$n = k - (m + p)$，$m = k - (n + p)$。
$\begin{aligned}\frac{p}{m + n} + \frac{n}{m + p} + \frac{m}{n + p}&=\frac{k - (m + n)}{m + n} + \frac{k - (m + p)}{m + p} + \frac{k - (n + p)}{n + p}\\&=\frac{k}{m + n} - 1 + \frac{k}{m + p} - 1 + \frac{k}{n + p} - 1\\&=k(\frac{1}{m + n} + \frac{1}{m + p} + \frac{1}{n + p}) - 3\end{aligned}$
已知$\frac{p}{m + n} + \frac{n}{m + p} + \frac{m}{n + p} = 2$，$\frac{1}{m + n} + \frac{1}{m + p} + \frac{1}{n + p} = \frac{4}{5}$，代入上式得：
$k × \frac{4}{5} - 3 = 2$
解得：
$\frac{4}{5}k = 5 \implies k = \frac{25}{4}$
$\frac{25}{4}$
14. (2025·江苏宿迁期末)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 60^{\circ}$，$AC ＞ AB ＞ 2$，$D$，$E$两点分别在边$AB$，$AC$上，且$BD = CE = 2$，连接$DE$，$M$是$DE$的中点，$N$是$BC$的中点，则线段$MN$的长为
$\sqrt{3}$
.
答案：14.$\sqrt{3}$ 解析：如图，过点C作CH//AB，连接DN 并延长，交CH 于点H，连接EH，过点C作CJ⊥EH于点J，则∠B = ∠NCH，∠A + ∠ECH = 180°。又∠A = 60°，所以∠ECH = 180° - ∠A = 120°。因为N是BC的中点，所以BN = CN。又∠DNB = ∠HNC，所以△DNB ≌ △HNC（ASA）。所以BD = CH，DN = HN。所以N是DH的中点。又M是DE的中点，所以MN是△DEH的中位线，即MN = $\frac{1}{2}$EH。因为BD = CE = 2，所以CE = CH = 2。所以∠CEJ = ∠CHJ，EH = 2EJ，即MN = EJ。又∠CEJ + ∠CHJ + ∠ECH = 180°，所以∠CEJ = $\frac{1}{2}$(180° - ∠ECH) = 30°。所以CJ = $\frac{1}{2}$EC = 1。在Rt△CEJ 中，由勾股定理，得EJ = $\sqrt{EC^{2}-CJ^{2}}$ = $\sqrt{3}$。所以MN = $\sqrt{3}$。
15. （15分）计算与解方程：
（1）$(\frac{a^{2}}{a - 3} + \frac{9}{3 - a}) ÷ \frac{a + 3}{a}$；
（2）$(14\sqrt{54} - 8\sqrt{24} - \sqrt{216}) ÷ 2\sqrt{6} × \frac{1}{\sqrt{6}}$；
（3）$\frac{x}{x - 1} - \frac{3}{(x - 1)(x + 2)} = 1$.
答案：15.(1)原式 = $\frac{(a + 3)(a - 3)}{a - 3}$·$\frac{a}{a + 3}$ = a。
(2)原式 = (42$\sqrt{6}$ - 16$\sqrt{6}$ - 6$\sqrt{6}$)×$\frac{1}{2\sqrt{6}}$×$\frac{1}{\sqrt{6}}$ = 20$\sqrt{6}$×$\frac{1}{12}$ = $\frac{5\sqrt{6}}{3}$。
(3)无解(x = 1是增根)。
