1. 新素养
数据观念(2024·四川乐山)为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，则估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为(
D
)
A.100
B.200
C.300
D.400
答案：1.D
解析：
抽取的60名学生中乘坐公交车的人数为30人，占比为$\frac{30}{60}=\frac{1}{2}$。
估计该年级800名学生中乘坐公交车上学的人数为$800×\frac{1}{2}=400$。
D
2. 亮点原创 若$2 ＜ y ＜ 3$，则化简$\sqrt{9 - 6y + y^{2}} - \sqrt{y^{2} - 4y + 4}$的结果为(
A
)
A.$5 - 2y$
B.$2y - 5$
C.5
D.$-5$
答案：2.A
解析：
$\begin{aligned}&\sqrt{9 - 6y + y^{2}} - \sqrt{y^{2} - 4y + 4}\\=&\sqrt{(y - 3)^2} - \sqrt{(y - 2)^2}\\\because 2 ＜ y ＜ 3\\\therefore y - 3 ＜ 0,\ y - 2 ＞ 0\\\therefore& |y - 3| - |y - 2|\\=& 3 - y - (y - 2)\\=& 3 - y - y + 2\\=& 5 - 2y\end{aligned}$
A
3. 若实数$x$满足$x^{2} - 2x - 1 = 0$，则$2x^{3} - 7x^{2} + 4x + 2026$的值为(
C
)
A.2021
B.2022
C.2023
D.2024
答案：3.C
解析：
由$x^{2} - 2x - 1 = 0$，得$x^{2}=2x + 1$。
$2x^{3}-7x^{2}+4x + 2026$
$=2x· x^{2}-7x^{2}+4x + 2026$
$=2x(2x + 1)-7(2x + 1)+4x + 2026$
$=4x^{2}+2x-14x - 7 + 4x + 2026$
$=4x^{2}-8x + 2019$
$=4(2x + 1)-8x + 2019$
$=8x + 4 - 8x + 2019$
$=2023$
C
4. 如图，在$□ ABCD$中，$AB = 9$，$BC = 6$，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，经过点$O$的直线$MN$分别交$AB$，$CD$于$M$，$N$两点，连接$BN$，当$BN$恰好平分$\angle ABC$时，$BM$的长为(
B
)
A.2
B.3
C.4
D.6
答案：4.B
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$OD=OB$，$CD=AB=9$。
∵$AB// CD$，
∴$\angle ODN=\angle OBM$，$\angle OND=\angle OMB$。
在$\triangle ODN$和$\triangle OBM$中，
$\begin{cases}\angle ODN=\angle OBM \\\angle OND=\angle OMB \\OD=OB\end{cases}$，
∴$\triangle ODN\cong\triangle OBM(AAS)$，
∴$DN=BM$。设$BM=x$，则$DN=x$，$CN=CD-DN=9-x$。
∵$BN$平分$\angle ABC$，
∴$\angle ABN=\angle CBN$。
∵$AB// CD$，
∴$\angle CNB=\angle ABN$，
∴$\angle CNB=\angle CBN$，
∴$CN=BC=6$，即$9-x=6$，解得$x=3$。
故$BM=3$。
答案：B
5. 随着科学技术的不断发展，“无人机”在农业生产中得到广泛应用. 经实践调查，一架无人机平均每小时喷洒农药的亩数是一个人平均每小时喷洒农药亩数的7.5倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，则一架无人机平均每小时喷洒农药(
C
)
A.32亩
B.45亩
C.60亩
D.75亩
答案：5.C
解析：
设一个人平均每小时喷洒农药$x$亩，则一架无人机平均每小时喷洒农药$7.5x$亩。
根据题意，得$\dfrac{120}{x}-\dfrac{120}{7.5x}=13$。
方程两边同乘$7.5x$，得$120×7.5 - 120 = 13×7.5x$。
计算得$900 - 120 = 97.5x$，即$780 = 97.5x$。
解得$x = 8$。
经检验，$x = 8$是原方程的解，且符合题意。
则$7.5x = 7.5×8 = 60$。
C
6. 已知$a$，$b$为实数，且$a \neq -1$，$b \neq -1$. 若$m = \frac{a - 1}{a + 1}$，$n = \frac{b - 1}{b + 1}$，则下列说法正确的是(
C
)
A.若$a ＞ b$，则$m ＞ n$
B.若$a ＜ b$，则$m ＜ n$
C.若$a + b = 0$，则$mn = 1$
D.若$a + b = 0$，则$mn = -1$
答案：6.C
解析：
当$a + b = 0$时，$b=-a$。
$m=\frac{a - 1}{a + 1}$，$n=\frac{b - 1}{b + 1}=\frac{-a - 1}{-a + 1}=\frac{-(a + 1)}{-(a - 1)}=\frac{a + 1}{a - 1}$。
$mn=\frac{a - 1}{a + 1}×\frac{a + 1}{a - 1}=1$。
C
7. 如图，把正方形纸片$ABCD$沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为$MN$，再过点$D$折叠，使得点$A$落在$MN$上的点$F$处，折痕为$DE$，则$\frac{EM}{FN}$的值是(
C
)
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3} - 1$
C.$2 - \sqrt{3}$
D.$3 - \sqrt{3}$
答案：7.C 解析：因为四边形ABCD 是正方形，所以AB//CD，AD=CD=AB，∠A=∠ADC = 90°。由折叠的性质，得DN=$\frac{1}{2}$CD，AM=$\frac{1}{2}$AB，DF=AD，EF=AE，即AM=DN=$\frac{1}{2}$AD。易得四边形AMND 是矩形，所以∠AMN=∠MND = 90°，MN=AD。在Rt△FND 中，由勾股定理，得FN=$\sqrt{DF^{2}-DN^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，所以FM=(1 - $\frac{\sqrt{3}}{2}$)AD。
在Rt△EMF 中，EF=AE=AM - EM=$\frac{1}{2}$AD - EM，由勾股定理，得EM² + FM² = EF²，所以EM² + [(1 - $\frac{\sqrt{3}}{2}$)AD]² = ($\frac{1}{2}$AD - EM)²，解得EM=($\sqrt{3}$ - $\frac{3}{2}$)AD。所以$\frac{EM}{FN}$=$\frac{(\sqrt{3}-\frac{3}{2})AD}{\frac{\sqrt{3}}{2}AD}$=2 - $\sqrt{3}$。
