4. (10分)新趋势传统文化“文房四宝”是中国传统书画的核心工具，即笔、墨、纸、砚.文房四宝之名，起源于南北朝时期.某校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”.经过调查得知，每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵30元，用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同.
(1) 求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格；
(2) 若该校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过6260元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种不同的购进方案？(无需写出具体方案)
答案：4. (1) 设每套甲型号“文房四宝”的价格为$x$元，则每套乙型号“文房四宝”的价格为$(x - 30)$元。由题意，得$\frac{640}{x} = \frac{400}{x - 30}$，解得$x = 80$。经检验，$x = 80$是原方程的解，且符合题意。则$x - 30 = 50$。所以每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别为$80$元，$50$元。
(2) 由(1)，得每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别为$80$元，$50$元。设购进甲型号“文房四宝”$m$套，则购进乙型号“文房四宝”$(100 - m)$套。由题意，得$\begin{cases}80m + 50(100 - m) \leq 6260 \\100 - m ＜ 3m\end{cases}$，解得$25 ＜ m \leq 42$。又$m$是整数，所以$m$可取的值为$26$，$27$，$···$，$42$，共有$17$个。则共有$17$种不同的购进方案。
5. (14分)取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：
(1) 【探究发现】第一步：如图①，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF，把纸片展平；第二步：在AD上选一点P，沿BP折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处.根据以上操作，当点M在EF上时，$\angle PBM =$
30
°；
(2) 【类比应用】如图②，小李将矩形纸片换成边长为8cm的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ，当点M在EF上时，求$\angle MBQ$的度数；
(3) 【拓展延伸】如图③，在(2)的探究中，改变点P在AD上的位置(点P不与A，D两点重合)，当$QF = 2cm$时，请直接写出AP的长.
答案：5. (1) $30$ 解析：由折叠的性质，得$AE = BE = \frac{1}{2}AB$，$\angle AEF = \angle BEF$，$AB = MB$，$\angle ABP = \angle PBM = \frac{1}{2}\angle ABM$，则$BE = \frac{1}{2}MB$。又$\angle AEF + \angle BEF = 180°$，所以$\angle BEF = 90°$。所以$\angle BME = 30°$，即$\angle ABM = 90° - \angle BME = 60°$。所以$\angle PBM = 30°$。
(2) 由(1)，得$AB = BM$，$\angle ABM = 60°$。因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = BC$，$\angle A = \angle C = \angle ABC = 90°$，即$\angle MBC = 30°$，$BM = BC$。由折叠的性质，得$\angle PMB = \angle A = 90°$，则$\angle BMQ = 180° - \angle PMB = 90°$。所以$\angle BMQ = \angle C$。又$BQ = BQ$，所以$Rt\triangle BMQ \cong Rt\triangle BCQ$（HL）。所以$\angle MBQ = \angle CBQ = \frac{1}{2}\angle MBC = 15°$。
(3) $AP$的长为$\frac{24}{5} \mathrm{ cm}$或$\frac{8}{7} \mathrm{ cm}$。 解析：因为四边形$ABCD$是边长为$8 \mathrm{ cm}$的正方形，所以$\angle A = \angle ABC = \angle C = \angle D = 90°$，$AB = BC = CD = AD = 8 \mathrm{ cm}$。由折叠的性质，得$DF = CF = \frac{1}{2}CD = 4 \mathrm{ cm}$，$AP = PM$，且$QF = 2 \mathrm{ cm}$。同(1)，得$\triangle BMQ \cong \triangle BCQ$，则$CQ = MQ$。设$AP = x \mathrm{ cm}$，则$PM = x \mathrm{ cm}$，$PD = (8 - x) \mathrm{ cm}$。分类讨论如下：当点$Q$在点$F$下方时，$DQ = DF + QF = 6 \mathrm{ cm}$，$CQ = CF - QF = 2 \mathrm{ cm}$，则$MQ = 2 \mathrm{ cm}$。所以$PQ = PM + MQ = (x + 2) \mathrm{ cm}$。在$Rt\triangle PDQ$中，由勾股定理，得$PD^2 + DQ^2 = PQ^2$，所以$(8 - x)^2 + 6^2 = (x + 2)^2$，解得$x = \frac{24}{5}$。则$AP = \frac{24}{5} \mathrm{ cm}$；当点$Q$在点$F$上方时，$DQ = DF - QF = 2 \mathrm{ cm}$，$MQ = CQ = CF + QF = 6 \mathrm{ cm}$，则$PQ = (x + 6) \mathrm{ cm}$。同理，得$(8 - x)^2 + 2^2 = (6 + x)^2$，解得$x = \frac{8}{7}$。则$AP = \frac{8}{7} \mathrm{ cm}$。综上，$AP$的长为$\frac{24}{5} \mathrm{ cm}$或$\frac{8}{7} \mathrm{ cm}$。
