9. (3 分)已知 $ m^2 + n^2 = 2m - 6n - 10 $，则代数式 $\frac{2}{m + n} - \frac{m - n}{m - 2} ÷ (m + 2 - \frac{n^2 - 4}{m - 2})$ =
$-\frac{1}{2}$
.
答案：9. $-\frac{1}{2}$
解析：
由$m^2 + n^2 = 2m - 6n - 10$，得$(m - 1)^2 + (n + 3)^2 = 0$，则$m = 1$，$n = -3$。
原式$=\frac{2}{m + n} - \frac{m - n}{m - 2} ÷ (\frac{(m + 2)(m - 2) - (n^2 - 4)}{m - 2})$
$=\frac{2}{m + n} - \frac{m - n}{m - 2} ÷ \frac{m^2 - n^2}{m - 2}$
$=\frac{2}{m + n} - \frac{m - n}{m - 2} · \frac{m - 2}{(m + n)(m - n)}$
$=\frac{2}{m + n} - \frac{1}{m + n}$
$=\frac{1}{m + n}$
将$m = 1$，$n = -3$代入，得$\frac{1}{1 + (-3)} = -\frac{1}{2}$。
$-\frac{1}{2}$
10. (3 分)如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 1,BC = 7 $，将矩形 $ ABCD $ 绕点 $ C $ 按顺时针方向旋转 $ 90° $ 得到矩形 $ A'B'CD' $，连接 $ BD,B'D' $，$ E,F $ 分别是 $ BD,B'D' $ 的中点，则 $ EF $ 的长为
$5$
.
答案：10. $5$
11. (3 分)新趋势
传统文化 2025 年春晚吉祥物“巳(sì)升升”，是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意.某商店销售 $ A,B $ 两款“巳升升”吉祥物，每个 $ A $ 款吉祥物的价格比每个 $ B $ 款吉祥物的价格高 20 元.若顾客花 800 元购买 $ A $ 款吉祥物的数量与花 600 元购买 $ B $ 款吉祥物的数量相同，则每个 $ A $ 款吉祥物的价格为
$80$
元.
答案：11. $80$
解析：
设每个B款吉祥物的价格为$x$元，则每个A款吉祥物的价格为$(x + 20)$元。
根据题意，得$\dfrac{800}{x + 20} = \dfrac{600}{x}$。
方程两边同乘$x(x + 20)$，得$800x = 600(x + 20)$。
解得$x = 60$。
经检验，$x = 60$是原分式方程的解，且符合题意。
则$x + 20 = 60 + 20 = 80$。
80
12. (3 分)已知 $ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}},b = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} $，则 $ 3a^2 + 11ab - 3b^2 $ 的值是
$-24\sqrt{3}+11$
.
答案：12. $-24\sqrt{3}+11$
解析：
解：$a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$，$b = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$，
$a + b = 4$，$a - b = -2\sqrt{3}$，$ab = 1$，
$3a^2 + 11ab - 3b^2 = 3(a^2 - b^2) + 11ab = 3(a + b)(a - b) + 11ab$，
代入得：$3×4×(-2\sqrt{3}) + 11×1 = -24\sqrt{3} + 11$。
$-24\sqrt{3} + 11$
13. (3 分)如图，在菱形 $ ABCD $ 中，$ M,N $ 分别是边 $ AD,BC $ 上的动点.若 $ MN $ 的长的最大值为 $\sqrt{65}$，最小值为 4，则菱形 $ ABCD $ 的面积为
$\frac{130}{7}$
.
答案：13. $\frac{130}{7}$ 解析：如图，过点$B$作$BE⊥ AD$，交$DA$的延长线于点$E$。当点$M$运动到点$D$处，点$N$运动到点$B$处时，$MN$的长最大，所以$BD=\sqrt{65}$。当$MN⊥ AD$时，$MN$的长最小，所以$BE = 4$。在$\mathrm{Rt}\triangle DBE$中，由勾股定理，得$DE=\sqrt{BD^{2}-BE^{2}} = 7$。因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AD = AB = BC$。设$AD = x$，则$AB = x$，$AE = 7 - x$。在$\mathrm{Rt}\triangle ABE$中，由勾股定理，得$BE^{2}+AE^{2}=AB^{2}$，所以$4^{2}+(7 - x)^{2}=x^{2}$，解得$x=\frac{65}{14}$，则$AD=\frac{65}{14}$。所以菱形$ABCD$的面积为$AD· BE=\frac{65}{14}×4=\frac{130}{7}$。
14. (4 分)如图，$□ ABCD$ 的顶点 $ C $ 在等边三角形 $ BEF $ 的边 $ BF $ 上，点 $ E $ 在 $ AB $ 的延长线上，$ G $ 为 $ DE $ 的中点，连接 $ CG $.若 $ AD = 3,AB = CF = 2 $，则 $ CG $ 的长为
$\frac{3}{2}$
.
答案：14. $\frac{3}{2}$ 解析：延长$CG$交$BE$于点$H$，则$\angle DGC=\angle EGH$。又四边形$ABCD$是平行四边形，$AB = 2$，$AD =3$，所以$AB// CD$，$CD = AB = 2$，$BC = AD = 3$。又点$E$在$AB$的延长线上，所以$CD// EH$。所以$\angle CDG=\angle HEG$。又$G$为$DE$的中点，所以$DG = EG$。所以$\triangle DCG\cong\triangle EHG(ASA)$。所以$EH = DC = 2$，$HG = CG=\frac{1}{2}CH$。又$CF = 2$，所以$BF = BC + CF = 5$。又$\triangle BEF$是等边三角形，所以$\angle EBF = 60^{\circ}$，$BE = BF = 5$。所以$BH = BE - EH = 3$。则$BC = BH$。所以$\triangle BCH$是等边三角形。所以$CH = BH = 3$，即$CG=\frac{3}{2}$。
解析：
解：延长$CG$交$BE$于点$H$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，$AD = 3$，$AB = 2$，所以$AB// CD$，$CD = AB = 2$，$BC = AD = 3$。
因为点$E$在$AB$的延长线上，所以$CD// EH$，则$\angle CDG=\angle HEG$。
因为$G$为$DE$的中点，所以$DG = EG$。
在$\triangle DCG$和$\triangle EHG$中，$\{\begin{array}{l}\angle CDG=\angle HEG\\ DG = EG\\ \angle DGC=\angle EGH\end{array} $，所以$\triangle DCG\cong\triangle EHG(ASA)$。
所以$EH = DC = 2$，$HG = CG=\frac{1}{2}CH$。
因为$CF = 2$，所以$BF = BC + CF = 3 + 2 = 5$。
因为$\triangle BEF$是等边三角形，所以$BE = BF = 5$，$\angle EBF = 60^{\circ}$。
所以$BH = BE - EH = 5 - 2 = 3$，则$BC = BH = 3$。
所以$\triangle BCH$是等边三角形，$CH = BH = 3$。
因此$CG=\frac{1}{2}CH=\frac{3}{2}$。
$\frac{3}{2}$
15. (2025·江苏南京期末·4 分)若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{x - a}{x - 1} - \frac{3}{x} = 1$ 无解，则 $ a =$
$1$或$-2$
.
答案：15. $1$或$-2$ 解析：对于分式方程$\frac{x - a}{x - 1}-\frac{3}{x}=1$，化简，得$(a + 2)x = 3$。因为该分式方程无解，所以有$(a + 2)x = 3$无解或分式方程有增根。当$(a + 2)x = 3$无解时，$a + 2 = 0$，解得$a=-2$；当分式方程有增根时，$x = 1$或$x = 0$。当$x = 1$时，$a + 2 = 3$，解得$a = 1$；当$x = 0$时，整式方程不成立。综上，$a$的值为$1$或$-2$。
解析：
方程两边同乘$x(x - 1)$，得$x(x - a)-3(x - 1)=x(x - 1)$，化简得$(a + 2)x=3$。
当$a + 2 = 0$，即$a=-2$时，方程$(a + 2)x = 3$无解，原分式方程无解；
当$a + 2\neq0$时，$x=\frac{3}{a + 2}$。若原分式方程有增根，则$x(x - 1)=0$，即$x = 0$或$x = 1$。
当$x = 1$时，$\frac{3}{a + 2}=1$，解得$a = 1$；当$x = 0$时，$\frac{3}{a + 2}=0$，无解。
综上，$a = 1$或$a=-2$。
16. (4 分)如图，菱形 $ ABCD $ 的边长为 5，$\angle BAD = 60°$，对角线 $ AC $ 上有两个动点 $ E,F $(点 $ E $ 在点 $ F $ 的左侧)，连接 $ DE,BF $.若 $ EF = 2 $，则 $ DE + BF $ 的最小值为
$\sqrt{29}$
.
答案：16. $\sqrt{29}$ 解析：连接$BD$。因为四边形$ABCD$是边长为$5$的菱形，所以$AB = AD = 5$，$AC⊥ BD$。因为$\angle BAD = 60^{\circ}$，所以$\triangle ADB$是等边三角形，即$BD = AB = 5$。以$DE$，$EF$为边作平行四边形$DEFG$，连接$BG$，则$DG// AC$，$DG = EF$，$FG = DE$，即$BD⊥ DG$。所以$\angle BDG = 90^{\circ}$。又$EF = 2$，所以$DG = 2$。在$\mathrm{Rt}\triangle BDG$中，由勾股定理，得$BG=\sqrt{DG^{2}+BD^{2}}=\sqrt{29}$。所以$DE + BF = FG + BF\geqslant BG$，即当$B$，$F$，$G$三点共线时，$DE + BF$取最小值，且最小值为$BG$的长。所以$DE + BF$的最小值为$\sqrt{29}$。
解析：
证明：连接$BD$。
∵四边形$ABCD$是菱形，边长为$5$，
∴$AB = AD = 5$，$AC ⊥ BD$。
∵$\angle BAD = 60°$，
∴$\triangle ADB$是等边三角形，$BD = AB = 5$。
以$DE$，$EF$为边作平行四边形$DEFG$，连接$BG$，
则$DG // AC$，$DG = EF = 2$，$FG = DE$。
∵$AC ⊥ BD$，$DG // AC$，
∴$BD ⊥ DG$，即$\angle BDG = 90°$。
在$\mathrm{Rt}\triangle BDG$中，由勾股定理得：
$BG = \sqrt{DG^2 + BD^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29}$。
∵$DE + BF = FG + BF \geq BG$（当且仅当$B$，$F$，$G$三点共线时取等号），
∴$DE + BF$的最小值为$\sqrt{29}$。
$\sqrt{29}$
17. (4 分)已知 $ a,b $ 为互不相等的非零实数，满足 $ a^2(b + c) = b^2(c + a) = 8 $，则 $ c^2(a + b) + 2abc =$
$-8$
.
答案：17. $-8$ 解析：因为$a^{2}(b + c)=b^{2}(c + a)=8$，所以$a^{2}b + a^{2}c = b^{2}c + ab^{2}$，即$ab(a - b)+c(a^{2}-b^{2})=0$。所以$(a - b)(ab + ac + bc)=0$。又$a\neq b$，所以$ab + ac + bc = 0$，即$ab + ac=-bc$。所以$a^{2}(b + c)=a(ab + ac)=-abc = 8$，即$abc = - 8$。所以$c^{2}(a + b)+2abc = ac^{2}+abc + bc^{2}+abc = c(ac + ab)+bc^{2}+abc=-bc^{2}+bc^{2}+abc = abc = - 8$。
18. (5 分)如图，正方形 $ ABCD $ 的边长为 1，$ E,F $ 两点分别在边 $ AD,BC $ 上，将正方形 $ ABCD $ 沿着 $ EF $ 翻折，点 $ B $ 恰好落在边 $ CD $ 上的点 $ B' $ 处.若四边形 $ ABFE $ 与四边形 $ EFCD $ 的面积比为 $ 3:5 $，则 $ FC $ 的长为
$\frac{3}{8}$
.
答案：18. $\frac{3}{8}$ 解析：如图，连接$BB'$交$EF$于点$G$，过点$F$作$FH⊥ AD$于点$H$，则$\angle FHD=\angle FHE = 90^{\circ}$。因为四边形$ABCD$是边长为$1$的正方形，四边形$ABFE$与四边形$EFCD$的面积比为$3:5$，所以$S_{\mathrm{四边形}ABFE}=\frac{3}{3 + 5}×1×1=\frac{3}{8}$，$\angle C=\angle D = 90^{\circ}$，$AB = AD = CD = BC = 1$，$AD// BC$。所以$\angle BFH=\angle FHD = 90^{\circ}$，四边形$CDHF$是矩形，即$DH = CF$，$FH = CD$。所以$FH = BC$。设$CF = x$，则$DH = x$，$BF = 1 - x$。所以$S_{\mathrm{四边形}ABFE}=\frac{1}{2}(AE + BF)· AB=\frac{3}{8}$，即$\frac{1}{2}(AE + 1 - x)×1=\frac{3}{8}$，解得$AE = x-\frac{1}{4}$。所以$DE = AD - AE = \frac{5}{4}-x$。所以$EH = DE - DH=\frac{5}{4}-2x$。由翻折的性质，得$B'F = BF = 1 - x$，$BB'⊥ EF$，即$\angle BGF = 90^{\circ}$。所以$\angle1+\angle2 = 90^{\circ}$。因为$\angle2+\angle3 = 90^{\circ}$，所以$\angle1=\angle3$。又$\angle FHE=\angle C = 90^{\circ}$，所以$\triangle EFH\cong\triangle B'BC(ASA)$。所以$EH = B'C$，即$B'C=\frac{5}{4}-2x$。在$\mathrm{Rt}\triangle B'FC$中，由勾股定理，得$B'F^{2}=CF^{2}+B'C^{2}$，所以$(1 - x)^{2}=x^{2}+(\frac{5}{4}-2x)^{2}$，即$4x^{2}-3x+\frac{9}{16}=0$。所以$(2x-\frac{3}{4})^{2}=0$。所以$2x-\frac{3}{4}=0$，即$x=\frac{3}{8}$。所以$FC$的长为$\frac{3}{8}$。
