10. (3分)新素养
运算能力 已知$x + 1 = \sqrt{5}$，则$x^{3} + 3x^{2} - 2x + 1$的值是 (
C
)
A.$\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{5}$
C.5
D.6
答案：10.C
解析：
由$x + 1 = \sqrt{5}$，得$x = \sqrt{5} - 1$。
$x^2 = (\sqrt{5} - 1)^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$
$x^3 = x · x^2 = (\sqrt{5} - 1)(6 - 2\sqrt{5}) = 6\sqrt{5} - 2×5 - 6 + 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5} - 16$
$x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = (8\sqrt{5} - 16) + 3(6 - 2\sqrt{5}) - 2(\sqrt{5} - 1) + 1$
$= 8\sqrt{5} - 16 + 18 - 6\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 2 + 1$
$=(8\sqrt{5} - 6\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) + (-16 + 18 + 2 + 1)$
$=0 + 5 = 5$
C
11. (3分)若$a + 6\sqrt{7} = (m + n\sqrt{7})^{2}$，且$a$，$m$，$n$均为正整数，则$a$的值为
$16$或$64$
.
答案：11.$16$或$64$ 解析：因为$(m+n\sqrt{7})^2=m^2+7n^2+2mn\sqrt{7}$，且$a+6\sqrt{7}=(m+n\sqrt{7})^2$，所以$a+6\sqrt{7}=m^2+7n^2+2mn\sqrt{7}$.又$a,m,n$都为正整数，所以$m^2+7n^2=a$，$2mn=6$，即$mn=3$.所以$m=1$，$n=3$或$m=3$，$n=1$.当$m=1$，$n=3$时，$a=1^2+7×3^2=64$；当$m=3$，$n=1$时，$a=3^2+7×1^2=16$.综上，$a$的值为$16$或$64$.
解析：
因为$(m + n\sqrt{7})^2 = m^2 + 7n^2 + 2mn\sqrt{7}$，且$a + 6\sqrt{7} = (m + n\sqrt{7})^2$，所以$a + 6\sqrt{7} = m^2 + 7n^2 + 2mn\sqrt{7}$。
由于$a$，$m$，$n$均为正整数，可得：
$\begin{cases}m^2 + 7n^2 = a \\ 2mn = 6\end{cases}$
由$2mn = 6$得$mn = 3$。
因为$m$，$n$为正整数，所以$m = 1$，$n = 3$或$m = 3$，$n = 1$。
当$m = 1$，$n = 3$时，$a = 1^2 + 7×3^2 = 1 + 7×9 = 1 + 63 = 64$；
当$m = 3$，$n = 1$时，$a = 3^2 + 7×1^2 = 9 + 7×1 = 9 + 7 = 16$。
综上，$a$的值为$16$或$64$。
12. (3分)已知$a$为实数，且$a + 2\sqrt{6}$与$\frac{1}{a} - 2\sqrt{6}$都是整数，则$a$的值为
$5-2\sqrt{6}$或$-5-2\sqrt{6}$
.
答案：12.$5-2\sqrt{6}$或$-5-2\sqrt{6}$ 解析：因为$a+2\sqrt{6}$与$\frac{1}{a}-2\sqrt{6}$都是整数，所以设$a=m-2\sqrt{6}$，$\frac{1}{a}=n+2\sqrt{6}$，其中$m$，$n$都是整数.又$a·\frac{1}{a}=1$，所以$(m-2\sqrt{6})(n+2\sqrt{6})=1$，即$mn-24+2\sqrt{6}(m-n)=1$.所以$m-n=0$，$mn-24=1$，解得$m=n=\pm5$.所以$a=5-2\sqrt{6}$或$-5-2\sqrt{6}$.
解析：
设$a + 2\sqrt{6} = m$（$m$为整数），则$a = m - 2\sqrt{6}$。
因为$\frac{1}{a} - 2\sqrt{6}$是整数，设$\frac{1}{a} - 2\sqrt{6} = n$（$n$为整数），则$\frac{1}{a} = n + 2\sqrt{6}$。
由于$a · \frac{1}{a} = 1$，所以$(m - 2\sqrt{6})(n + 2\sqrt{6}) = 1$，展开得：
$mn + 2\sqrt{6}m - 2\sqrt{6}n - 24 = 1$
整理得：$mn - 24 + 2\sqrt{6}(m - n) = 1$
因为$m$，$n$为整数，$\sqrt{6}$是无理数，所以$m - n = 0$，且$mn - 24 = 1$。
由$m - n = 0$得$m = n$，代入$mn - 24 = 1$得$m^2 = 25$，解得$m = \pm 5$。
当$m = 5$时，$a = 5 - 2\sqrt{6}$；当$m = -5$时，$a = -5 - 2\sqrt{6}$。
$5 - 2\sqrt{6}$或$-5 - 2\sqrt{6}$
13. (6分)计算：
(1) $\sqrt{2}×(\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{\sqrt{18} - \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$；
(2) $(\frac{\sqrt{18}}{3} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} - \frac{3}{\sqrt{3}} + \sqrt{5})$.
答案：13.(1)原式$=2+1-1=2$.
(2)原式$=(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})[\sqrt{2}-(\sqrt{3}-\sqrt{5})]=(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2=2-(8-2\sqrt{15})=-6+2\sqrt{15}$.
14. (6分)上分点二 已知$x = 2 - \sqrt{3}$，$y = 2 + \sqrt{3}$.
(1) 求$xy^{2} - x^{2}y$的值；
(2) 若$x$的小数部分是$a$，$y$的整数部分是$b$，求$ax + by$的值.
答案：14.(1)因为$x=2-\sqrt{3}$，$y=2+\sqrt{3}$，所以$xy=1$，$y-x=2\sqrt{3}$.所以$xy^2-x^2y=xy(y-x)=2\sqrt{3}$.
(2)由题意，得$a=2-\sqrt{3}$，$b=3$.又$x=2-\sqrt{3}$，$y=2+\sqrt{3}$，所以$ax+by=(2-\sqrt{3})^2+3(2+\sqrt{3})=7-4\sqrt{3}+6+3\sqrt{3}=13-\sqrt{3}$.
15. (4分)先化简，再求值：$(\frac{1}{a - \sqrt{ab}} + \frac{1}{\sqrt{ab} + b})÷\frac{\sqrt{ab}}{a - b}$，其中$a = \sqrt{3} + 1$，$b = \sqrt{3} - 1$.
答案：15.原式$=(\frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}+\frac{1}{\sqrt{b}(\sqrt{a}+\sqrt{b})})·\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}·\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{b\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{ab}+b+a-\sqrt{ab}}{ab}=\frac{a+b}{ab}$.因为$a=\sqrt{3}+1$，$b=\sqrt{3}-1$，所以原式$=\frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\sqrt{3}$.
16. (6分)新素养 推理能力 已知$\triangle ABC$的周长为$\sqrt{46} + 4\sqrt{5}$，其中$AB = 2\sqrt{5} + \sqrt{3}$，$AC = \sqrt{46}$.
(1) 求$BC$的长；
(2) 判断$\triangle ABC$的形状，并说明理由.
答案：16.(1)因为$C_{\triangle ABC}=\sqrt{46}+4\sqrt{5}$，$AB=2\sqrt{5}+\sqrt{3}$，$AC=\sqrt{46}$，所以$BC=\sqrt{46}+4\sqrt{5}-(2\sqrt{5}+\sqrt{3})-\sqrt{46}=2\sqrt{5}-\sqrt{3}$.
(2)$\triangle ABC$是直角三角形.理由如下：由(1)，得$BC=2\sqrt{5}-\sqrt{3}$.又$AB=2\sqrt{5}+\sqrt{3}$，$AC=\sqrt{46}$，所以$AB^2=23+4\sqrt{15}$，$BC^2=23-4\sqrt{15}$，$AC^2=46$.所以$AB^2+BC^2=AC^2$，即$\triangle ABC$是直角三角形，且$\angle ABC=90^{\circ}$.
