1. (2分)下列各式与$\sqrt{8}$是同类二次根式的是 (
C
)
A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{4}$
C.$\sqrt{50}$
D.$\sqrt{27}$
答案：1.C
解析：
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
A. $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
B. $\sqrt{4} = 2$
C. $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
D. $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$
C
2. (3分)若最简二次根式$\sqrt{2m - 1}$与最简二次根式$\sqrt{34 - 3m}$是同类二次根式，则$m + 2$的平方根是
$\pm3$
.
答案：2.$\pm3$
解析：
因为最简二次根式$\sqrt{2m - 1}$与$\sqrt{34 - 3m}$是同类二次根式，所以$2m - 1 = 34 - 3m$，解得$m = 7$。则$m + 2 = 7 + 2 = 9$，$9$的平方根是$\pm3$。
3. (3分)若$\sqrt{45} + \sqrt{a} = b\sqrt{5}$($b$为整数)，则$a$的值可以是 (
D
)
A.$\frac{1}{3}$
B.27
C.24
D.20
答案：3.D
解析：
$\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$，则$3\sqrt{5} + \sqrt{a} = b\sqrt{5}$，所以$\sqrt{a} = (b - 3)\sqrt{5}$，$a = 5(b - 3)^2$。当$b = 5$时，$a = 5×(5 - 3)^2 = 20$。
D
4. (3分)新素养
抽象能力 化简$\sqrt{-x^{3}} - x\sqrt{-\frac{1}{x}}$的结果为 (
B
)
A.$(x - 1)\sqrt{-x}$
B.$(1 - x)\sqrt{-x}$
C.$-(x + 1)\sqrt{-x}$
D.$(x + 1)\sqrt{-x}$
答案：4.B
解析：
要使$\sqrt{-x^{3}}$和$x\sqrt{-\frac{1}{x}}$有意义，则$-x^{3}\geq0$且$-\frac{1}{x}\geq0$，解得$x＜0$。
$\begin{aligned}\sqrt{-x^{3}} - x\sqrt{-\frac{1}{x}}&=\sqrt{-x· x^{2}} - x\sqrt{-\frac{x}{x^{2}}}\\&=\vert x\vert\sqrt{-x} - x·\frac{\sqrt{-x}}{\vert x\vert}\\&=-x\sqrt{-x} - x·\frac{\sqrt{-x}}{-x}\\&=-x\sqrt{-x} + \sqrt{-x}\\&=(1 - x)\sqrt{-x}\end{aligned}$
结果为$(1 - x)\sqrt{-x}$，答案选B。
5. (3分)计算：$\sqrt{27 + 2a} + \sqrt{48 - 3a} + \sqrt{-a^{2}} =$
$7\sqrt{3}$
.
答案：5.$7\sqrt{3}$
解析：
要使原式有意义，则$-a^2 \geq 0$，即$a^2 \leq 0$，所以$a = 0$。
将$a = 0$代入原式：
$\begin{aligned}&\sqrt{27 + 2×0} + \sqrt{48 - 3×0} + \sqrt{-0^2}\\=&\sqrt{27} + \sqrt{48} + 0\\=&3\sqrt{3} + 4\sqrt{3}\\=&7\sqrt{3}\end{aligned}$
$7\sqrt{3}$
6. (3分)亮点原创 若$a$，$b$都为有理数，且$\sqrt{36} + \sqrt{24} + 2\sqrt{54} = a + b\sqrt{6}$，则以$a$，$b$为两直角边长的直角三角形的斜边中线长为
5
.
答案：6.5
解析：
$\sqrt{36} + \sqrt{24} + 2\sqrt{54} = 6 + 2\sqrt{6} + 2× 3\sqrt{6} = 6 + 2\sqrt{6} + 6\sqrt{6} = 6 + 8\sqrt{6}$，所以$a = 6$，$b = 8$。直角三角形两直角边为$6$和$8$，斜边长为$\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$，斜边中线长为$\frac{10}{2} = 5$。
5
7. (6分)计算：
(1) $\sqrt{72} + \sqrt{\frac{1}{20}} - \sqrt{\frac{18}{49}}$；
(2) $(6\sqrt{\frac{1}{27}} - \frac{2}{3}\sqrt{18}) - (\sqrt{\frac{4}{3}} - 4\sqrt{\frac{1}{2}})$.
答案：7.(1)原式$=6\sqrt{2}+\frac{\sqrt{5}}{10}-\frac{3\sqrt{2}}{7}=\frac{39\sqrt{2}}{7}+\frac{\sqrt{5}}{10}$.
(2)原式$=\frac{2}{3}\sqrt{3}-2\sqrt{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{2}=0$.
8. (4分)是否存在正整数$a$，$b$（$a ＞ b$），使其满足$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{108}$？若存在，请求出$a$，$b$的值；若不存在，请说明理由.
答案：8.存在.因为$\sqrt{108}=6\sqrt{3}$，且$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{108}$，所以$\sqrt{a}+\sqrt{b}=6\sqrt{3}$.又$a＞b$，且$6\sqrt{3}=5\sqrt{3}+\sqrt{3}$或$6\sqrt{3}=4\sqrt{3}+2\sqrt{3}$，所以$\sqrt{a}=5\sqrt{3}$，$\sqrt{b}=\sqrt{3}$或$\sqrt{a}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{b}=2\sqrt{3}$，即$a=75$，$b=3$或$a=48$，$b=12$.
解析：
存在.
$\sqrt{108}=6\sqrt{3}$，
$\because \sqrt{a}+\sqrt{b}=6\sqrt{3}$，$a＞b$且为正整数，
$\therefore$ 可设 $\sqrt{a}=m\sqrt{3}$，$\sqrt{b}=n\sqrt{3}$（$m,n$为正整数，$m＞n$，$m+n=6$）.
当 $m=5$，$n=1$ 时，$\sqrt{a}=5\sqrt{3}$，$\sqrt{b}=\sqrt{3}$，得 $a=75$，$b=3$；
当 $m=4$，$n=2$ 时，$\sqrt{a}=4\sqrt{3}$，$\sqrt{b}=2\sqrt{3}$，得 $a=48$，$b=12$.
综上，$a=75$，$b=3$ 或 $a=48$，$b=12$.
9. (2025·台湾·2分)上分点一 计算$(2\sqrt{3} + \sqrt{6})×\sqrt{2}$的结果是 (
C
)
A.$4\sqrt{3}$
B.$6\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3} + 2\sqrt{6}$
D.$4\sqrt{3} + 2\sqrt{6}$
答案：9.C
解析：
$(2\sqrt{3} + \sqrt{6})×\sqrt{2}$
$=2\sqrt{3}×\sqrt{2} + \sqrt{6}×\sqrt{2}$
$=2\sqrt{6} + \sqrt{12}$
$=2\sqrt{6} + 2\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3} + 2\sqrt{6}$
C
