9. (6分)已知$y=\dfrac{\sqrt{(x-1)^{2}}}{x-1}+3$，且$x＜1$，求$y·\sqrt{3y}÷\sqrt{\dfrac{1}{y^{4}}}·\sqrt{\dfrac{1}{y}}$的值.
答案：9. 因为$x＜1$,所以$x - 1＜0$. 又$y=\frac{\sqrt{(x - 1)^{2}}}{x - 1}+3$,所以$y=\frac{\vert x - 1\vert}{x - 1}+3=-1 + 3=2$. 则原式$=y·\sqrt{3y· y^{4}·\frac{1}{y}}=\sqrt{3y^{3}}=8\sqrt{3}$.
解析：
因为$x ＜ 1$，所以$x - 1 ＜ 0$。
又$y = \dfrac{\sqrt{(x - 1)^2}}{x - 1} + 3$，则$y = \dfrac{|x - 1|}{x - 1} + 3 = \dfrac{-(x - 1)}{x - 1} + 3 = -1 + 3 = 2$。
原式$= y · \sqrt{3y} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{y^4}} · \sqrt{\dfrac{1}{y}}$
$= y · \sqrt{3y} · \sqrt{y^4} · \sqrt{\dfrac{1}{y}}$
$= y · \sqrt{3y · y^4 · \dfrac{1}{y}}$
$= y · \sqrt{3y^4}$
$= y · y^2\sqrt{3}$
$= y^3\sqrt{3}$
将$y = 2$代入，得$2^3\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$。
故答案为$8\sqrt{3}$。
10. (3分)如果$a=2+\sqrt{5}$，$b=\dfrac{1}{2-\sqrt{5}}$，那么$a$与$b$之间的关系是(
B
)
A.$a＞b$且互为倒数
B.$a＞b$且互为相反数
C.$ab=-1$
D.$ab=1$
答案：10. B
解析：
$b=\dfrac{1}{2-\sqrt{5}}=\dfrac{2+\sqrt{5}}{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}=\dfrac{2+\sqrt{5}}{4-5}=-2-\sqrt{5}$，
$a=2+\sqrt{5}$，
则$a+b=(2+\sqrt{5})+(-2-\sqrt{5})=0$，所以$a$与$b$互为相反数，
又因为$2+\sqrt{5}＞0$，$-2-\sqrt{5}＜0$，所以$a＞b$，
综上，$a$与$b$的关系是$a＞b$且互为相反数，答案选B。
11. (3分)满足$\dfrac{2}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}＜x＜\dfrac{3}{\sqrt{9}-\sqrt{8}}$的整数$x$的个数为(
B
)
A.9
B.10
C.11
D.12
答案：11. B
解析：
$\begin{aligned}\frac{2}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}&=\frac{2(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=4 + 2\sqrt{3}\approx4 + 3.464=7.464,\\frac{3}{\sqrt{9}-\sqrt{8}}&=\frac{3(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}=9 + 6\sqrt{2}\approx9 + 8.485=17.485,\\\therefore 7.464 ＜ x ＜ 17.485,\\整数x为8,9,10,11,12,13,14,15,16,17，共10个.\end{aligned}$
B
12. (3分)实数$\dfrac{1}{5-2\sqrt{6}}$的整数部分是
$9$
，小数部分是
$2\sqrt{6}-4$
.
答案：12. $9$ $2\sqrt{6}-4$
解析：
$\begin{aligned}\frac{1}{5 - 2\sqrt{6}}&=\frac{5 + 2\sqrt{6}}{(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})}\\&=\frac{5 + 2\sqrt{6}}{25 - (2\sqrt{6})^2}\\&=\frac{5 + 2\sqrt{6}}{25 - 24}\\&=5 + 2\sqrt{6}\end{aligned}$
因为$2\sqrt{6}=\sqrt{24}$，且$\sqrt{16}＜\sqrt{24}＜\sqrt{25}$，即$4＜2\sqrt{6}＜5$，所以$5 + 4＜5 + 2\sqrt{6}＜5 + 5$，即$9＜5 + 2\sqrt{6}＜10$，则整数部分是$9$，小数部分是$5 + 2\sqrt{6}-9=2\sqrt{6}-4$。
9；$2\sqrt{6}-4$
13. (3分)已知$a=\dfrac{1}{\sqrt{15}-4}$，$b=\dfrac{1}{\sqrt{15}+4}$，则$\sqrt{a^{2}+b^{2}+2}=$
$8$
.
答案：13. $8$
解析：
解：先对$a$，$b$进行分母有理化：
$a = \dfrac{1}{\sqrt{15} - 4} = \dfrac{\sqrt{15} + 4}{(\sqrt{15} - 4)(\sqrt{15} + 4)} = \dfrac{\sqrt{15} + 4}{15 - 16} = -(\sqrt{15} + 4) = -\sqrt{15} - 4$
$b = \dfrac{1}{\sqrt{15} + 4} = \dfrac{\sqrt{15} - 4}{(\sqrt{15} + 4)(\sqrt{15} - 4)} = \dfrac{\sqrt{15} - 4}{15 - 16} = -(\sqrt{15} - 4) = -\sqrt{15} + 4$
计算$a + b$：
$a + b = (-\sqrt{15} - 4) + (-\sqrt{15} + 4) = -2\sqrt{15}$
计算$ab$：
$ab = (-\sqrt{15} - 4)(-\sqrt{15} + 4) = (\sqrt{15})^2 - 4^2 = 15 - 16 = -1$
因为$\sqrt{a^2 + b^2 + 2} = \sqrt{(a + b)^2 - 2ab + 2}$，将$a + b = -2\sqrt{15}$，$ab = -1$代入得：
$\begin{aligned}\sqrt{( -2\sqrt{15})^2 - 2×(-1) + 2}&=\sqrt{4×15 + 2 + 2}\\&=\sqrt{60 + 4}\\&=\sqrt{64}\\&=8\end{aligned}$
$8$
14. (8分)我们知道形如$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，$\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$的数可以化简，如：$\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$，这样的化简过程叫作分母有理化. 我们把$\sqrt{2}$叫作$\sqrt{2}$的有理化因式，$\sqrt{5}+\sqrt{3}$叫作$\sqrt{5}-\sqrt{3}$的有理化因式，解答下列各题：
(1)$\sqrt{7}$的有理化因式是
$\sqrt{7}$
，$3-2\sqrt{2}$的有理化因式是
$3 + 2\sqrt{2}$
；
(2)化简：$\dfrac{\sqrt{3}}{3-2\sqrt{3}}$；
(3)比较$\sqrt{2026}-\sqrt{2025}$，$\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$的大小，并说明理由.
答案：14. (1) $\sqrt{7}$ $3 + 2\sqrt{2}$
(2) 原式$=\frac{\sqrt{3}(3 + 2\sqrt{3})}{(3 - 2\sqrt{3})(3 + 2\sqrt{3})}=\frac{3\sqrt{3}+6}{-3}=-\sqrt{3}-2$.
(3) $\sqrt{2026}-\sqrt{2025}＜\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$. 理由如下：因为$\sqrt{2026}-\sqrt{2025}=\frac{1}{\sqrt{2026}+\sqrt{2025}}$,
$\sqrt{2024}-\sqrt{2023}=\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2023}}$, 且
$\frac{1}{\sqrt{2026}+\sqrt{2025}}＜\frac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2023}}$, 所 以$\sqrt{2026}-\sqrt{2025}＜\sqrt{2024}-\sqrt{2023}$.
15. (3分)已知二次根式$\sqrt{23-a}$与$\sqrt{8}$化成最简二次根式后，被开方数相同. 若$a$是正整数，则$a$的最小值为(
D
)
A.23
B.21
C.15
D.5
答案：15. D
解析：
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，最简二次根式被开方数为$2$。
$\sqrt{23-a}$化为最简二次根式后被开方数为$2$，则$23-a=2k^2$（$k$为正整数）。
$a=23-2k^2$，$a$是正整数，$23-2k^2＞0$，$k^2＜11.5$，$k$可取$1,2,3$。
$k=1$时，$a=23-2=21$；$k=2$时，$a=23-8=15$；$k=3$时，$a=23-18=5$。
$a$的最小值为$5$。
D
16. (3分)若最简二次根式$(n-1)\sqrt{2n+1}$与最简二次根式$\sqrt{4n-m}$相等，则$m+n$的值为
$5$
.
答案：16. $5$ 解析：由题意，得$\begin{cases}n - 1 = 1,\\2n + 1 = 4n - m,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 3,\ = 2.\end{cases}$所以$m + n = 5$.
