1. (2025·广东·3分)计算$\sqrt{12}×\sqrt{3}$的结果是(
B
)
A.3
B.6
C.$\sqrt{6}$
D.$2\sqrt{6}$
答案：1. B
解析：
$\sqrt{12} × \sqrt{3} = \sqrt{12 × 3} = \sqrt{36} = 6$，结果为6，答案选B。
2. (3分)若$\sqrt{48n}$是整数，则正整数$n$的最小值为(
A
)
A.3
B.4
C.6
D.8
答案：2. A
解析：
$\sqrt{48n} = \sqrt{16 × 3n} = 4\sqrt{3n}$，要使$\sqrt{48n}$是整数，则$\sqrt{3n}$必须是整数，即$3n$是完全平方数。正整数$n$的最小值为$3$，此时$3n = 9$，$\sqrt{9} = 3$。
A
3. (3分)计算：$\sqrt{12x}·\sqrt{\dfrac{y^{2}}{3x}}(y＜0)=$
$-2y$
.
答案：3. $-2y$
解析：
$\sqrt{12x}·\sqrt{\dfrac{y^{2}}{3x}}=\sqrt{12x·\dfrac{y^{2}}{3x}}=\sqrt{4y^{2}}=2|y|$，因为$y＜0$，所以$2|y|=-2y$。
4. (3分)若$\sqrt{x^{3}-4x^{2}+4x}=(2-x)\sqrt{x}$，则$x$的取值范围是
$0\leqslant x\leqslant2$
.
答案：4. $0\leqslant x\leqslant2$
解析：
要使等式$\sqrt{x^{3}-4x^{2}+4x}=(2 - x)\sqrt{x}$成立，需满足以下条件：
1. 根号内非负
对于$\sqrt{x}$，有$x\geq0$；
对于$\sqrt{x^{3}-4x^{2}+4x}$，先化简被开方数：$x^{3}-4x^{2}+4x = x(x^{2}-4x + 4)=x(x - 2)^{2}$，则$x(x - 2)^{2}\geq0$。因为$(x - 2)^{2}\geq0$恒成立，所以$x\geq0$（与$\sqrt{x}$的条件一致）。
2. 等式右边非负
$(2 - x)\sqrt{x}\geq0$，因为$\sqrt{x}\geq0$，所以$2 - x\geq0$，即$x\leq2$。
3. 等式两边平方验证
等式左边平方：$(\sqrt{x(x - 2)^{2}})^{2}=x(x - 2)^{2}$；
等式右边平方：$[(2 - x)\sqrt{x}]^{2}=(2 - x)^{2}x=x(x - 2)^{2}$，两边平方后相等。
综上，$x$的取值范围是$0\leqslant x\leqslant2$。
$0\leqslant x\leqslant2$
5. (7分)观察下列各式：$\sqrt{1+\dfrac{1}{3}}=2\sqrt{\dfrac{1}{3}}$，$\sqrt{2+\dfrac{1}{4}}=3\sqrt{\dfrac{1}{4}}$，$\sqrt{3+\dfrac{1}{5}}=4\sqrt{\dfrac{1}{5}}$……
解答下列问题：
(1)$\sqrt{5+\dfrac{1}{7}}=$
$6\sqrt{\frac{1}{7}}$
；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用$n$($n$为正整数)表示的等式，并证明；
(3)化简：$\sqrt{2024+\dfrac{1}{2026}}×\sqrt{4052}$.
答案：5. (1) $6\sqrt{\frac{1}{7}}$
(2) $\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)·\sqrt{\frac{1}{n+2}}$($n$为正整数). 证明如下：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=\sqrt{\frac{n^{2}+2n+1}{n+2}}=\sqrt{\frac{(n+1)^{2}}{n+2}}=\vert n+1\vert·\sqrt{\frac{1}{n+2}}$. 又$n$为正整数，所以$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}$
以$n+1＞0$. 则$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)·\sqrt{\frac{1}{n+2}}$.
(3) 由(2)，得$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)·\sqrt{\frac{1}{n+2}}$. 所以$\sqrt{2024+\frac{1}{2026}}={2025}·\sqrt{\frac{1}{2026}}$. 所以原式$={2025}\sqrt{\frac{1}{2026}}×\sqrt{4052}={2025}\sqrt{2}$.
6. (3分)能使等式$\sqrt{\dfrac{
x}{1-x}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}$成立的$x$的取值范围是(
C
)
A.$x\geqslant0$
B.$x＜1$
C.$0\leqslant x＜1$
D.$x\geqslant0$且$x≠1$
答案：6. C
解析：
要使等式$\sqrt{\dfrac{x}{1 - x}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 - x}}$成立，需满足：
1. 分子根号下非负：$x\geq0$；
2. 分母根号下为正：$1 - x＞0$，即$x＜1$；
3. 原分式分母非零：$1 - x\neq0$，即$x\neq1$（已包含在$x＜1$中）。
综上，$x$的取值范围是$0\leq x＜1$。
C
7. (3分)如果$\sqrt{5}÷\sqrt{\dfrac{n}{45}}$是整数，那么正整数$n$的值有(
C
)
A.1个
B.2个
C.4个
D.无数个
答案：7. C
解析：
$\begin{aligned}\sqrt{5} ÷ \sqrt{\frac{n}{45}} &= \sqrt{5 ÷ \frac{n}{45}} \\&= \sqrt{5 × \frac{45}{n}} \\&= \sqrt{\frac{225}{n}} \\&= \frac{15}{\sqrt{n}}.\end{aligned}$
要使结果为整数，则$\sqrt{n}$为15的正因数，15的正因数有1, 3, 5, 15，故$\sqrt{n}=1,3,5,15$，则$n=1,9,25,225$，共4个值。
C
8. (3分)若$a=5-3b$，则$5\sqrt{a-3b}÷\sqrt{a^{2}-9b^{2}}=$
$\sqrt{5}$
.
答案：8. $\sqrt{5}$
解析：
$\because a=5-3b$，
$\therefore a+3b=5$，
$\therefore 5\sqrt{a-3b}÷\sqrt{a^{2}-9b^{2}}$
$=5\sqrt{a-3b}÷\sqrt{(a+3b)(a-3b)}$
$=5\sqrt{a-3b}÷(\sqrt{a+3b}·\sqrt{a-3b})$
$=5÷\sqrt{a+3b}$
$=5÷\sqrt{5}$
$=\sqrt{5}$.
$\sqrt{5}$
