1. (3分)下列关于 $ x $ 的方程是分式方程的是 (
C
)
A.$\frac{x + 1}{5 + a}=2 + x$
B.$\frac{x + 3}{\pi}=\frac{x - 2}{2}$
C.$\frac{1}{x + 1}=2$
D.$2x - 3y = 5$
答案：1. C
2. (3分)若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{kx}{x - 1}-\frac{2k}{x}=2$ 的解是 $ x = 2 $，则实数 $ k $ 的值为
2
。
答案：2. 2
解析：
解：将$x = 2$代入方程$\frac{kx}{x - 1}-\frac{2k}{x}=2$，得$\frac{2k}{2 - 1}-\frac{2k}{2}=2$，即$2k - k = 2$，解得$k = 2$。
3. (2025·广东深圳·3分)某社区植树60棵，实际植树人数是原计划的2倍，实际平均每人植树棵数比原计划少了3棵.若设原计划植树人数为 $ x $，则下列所列方程正确的是 (
A
)
A.$\frac{60}{x}-\frac{60}{2x}=3$
B.$\frac{60}{2x}-\frac{60}{x}=3$
C.$\frac{60}{x}=2×\frac{60}{x + 3}$
D.$\frac{60}{x}=2×\frac{60}{x - 3}$
答案：3. A
解析：
原计划植树人数为$x$，则实际植树人数为$2x$。
原计划平均每人植树棵数为$\frac{60}{x}$，实际平均每人植树棵数为$\frac{60}{2x}$。
因为实际平均每人植树棵数比原计划少了3棵，所以可列方程：$\frac{60}{x}-\frac{60}{2x}=3$。
A
4. (3分)题目如下：“某校师生去距该校45 km的快乐农场开展活动，张老师骑自行车先行2 h，其余师生乘汽车出发，结果同时到达.若
，求张老师骑车的速度”.阴影部分为被墨迹污染的条件，根据图中的解题过程，被墨迹弄污的条件应是
其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车速度的3倍
。
解：设张老师骑车的速度为 $ x $ km/h.
由题意，得 $\frac{45}{x}-2=\frac{45}{3x}$
……
答案：4. 其余师生乘汽车的速度是张老师骑自行车速度的3倍
5. (3分)定义一种新运算“※”：$a※b=\frac{1}{a^{2}-b^{2}}$，则方程 $ x※2=\frac{x}{x + 2}-1 $ 的解为 (
A
)
A.$x=\frac{3}{2}$
B.$x = 3$
C.$x=\frac{5}{2}$
D.$x = 4$
答案：5. A
解析：
由新运算定义得：$x※2 = \frac{1}{x^2 - 2^2} = \frac{1}{x^2 - 4}$
方程可化为：$\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{x}{x + 2} - 1$
通分右边：$\frac{x}{x + 2} - \frac{x + 2}{x + 2} = \frac{x - (x + 2)}{x + 2} = \frac{-2}{x + 2}$
方程变为：$\frac{1}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{-2}{x + 2}$
两边同乘$(x - 2)(x + 2)$：$1 = -2(x - 2)$
解得：$1 = -2x + 4$，$2x = 3$，$x = \frac{3}{2}$
经检验，$x = \frac{3}{2}$是原方程的解。
A
6. (2025·四川宜宾·3分)分式方程 $\frac{1}{x - 2}+\frac{1}{x}=0$ 的解为
$x = 1$
。
答案：6. $x = 1$
解析：
解：方程两边同乘$x(x - 2)$，得$x + (x - 2) = 0$，
解得$x = 1$，
检验：当$x = 1$时，$x(x - 2) = 1×(1 - 2) = -1 ≠ 0$，
所以原分式方程的解为$x = 1$。
7. (3分)若方程 $\frac{x - 3}{x - 2}+1=\frac{3}{2 - x}$ 的解使关于 $ x $ 的不等式 $(3 - a)x - 2a - 6＞0$ 不成立，则实数 $ a $ 的取值范围是
$a\geqslant - 1$
。
答案：7. $a\geqslant - 1$
解析：
解方程$\frac{x - 3}{x - 2}+1=\frac{3}{2 - x}$，
两边同乘$x - 2$得：$x - 3 + x - 2=-3$，
解得$x = 1$，
经检验$x = 1$是原方程的解。
因为不等式$(3 - a)x - 2a - 6＞0$不成立，所以$(3 - a)x - 2a - 6\leqslant0$，
将$x = 1$代入得：$(3 - a)×1 - 2a - 6\leqslant0$，
即$3 - a - 2a - 6\leqslant0$，
$-3a - 3\leqslant0$，
$-3a\leqslant3$，
解得$a\geqslant - 1$。
$a\geqslant - 1$
8. (6分)解方程：
(1) (2025·江苏镇江) $\frac{3 - x}{4 + x}=\frac{1}{2}$；
(2) $\frac{x}{x - 2}-1=\frac{8}{x^{2}-4}$。
答案：8. (1)方程两边同乘$2(4 + x)$，得$2(3 - x) = 4 + x$，解得$x = \frac{2}{3}$。经检验，$x = \frac{2}{3}$是原方程的解。
(2)方程两边同乘$(x + 2)(x - 2)$，得$x(x + 2) - (x + 2)(x - 2) = 8$，解得$x = 2$。经检验，$x = 2$是原方程的增根，所以原方程无解。
