9. (4分)已知关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{ax}{x - 1}+\frac{3}{1 - x}=2$ 无解，则 $ a $ 的值是 (
A
)
A.2或3
B.-2或3
C.-3或3
D.-2或2
答案：9. A 解析：去分母，得$ax - 3 = 2(x - 1)$，所以$(a - 2)x = 1$。又原方程无解，所以分方程$(a - 2) · x = 1$无解和原分式方程有增根两种情况。当$(a - 2)x = 1$无解时，$a - 2 = 0$，解得$a = 2$；当原分式方程有增根时，$x - 1 = 0$，解得$x = 1$。把$x = 1$代入$(a - 2)x = 1$中，得$a - 2 = 1$，解得$a = 3$。则$a$的值是2或3。
10. (3分)若分式方程 $\frac{3x - a}{x^{2}-2x}+\frac{1}{x - 2}=\frac{2}{x}$ 有增根，则实数 $ a $ 的值为
4或8
。
答案：10. 4或8 解析：对于分式方程$\frac{3x - a}{x^{2} - 2x} + \frac{1}{x - 2} = \frac{2}{x}$，两边同乘$x(x - 2)$，得$3x - a + x = 2(x - 2)$。整理，得$x = \frac{a - 4}{2}$，又原分式方程有增根，所以$x = 0$或$x = 2$。所以$\frac{a - 4}{2} = 0$或$\frac{a - 4}{2} = 2$，解得$a = 4$或$a = 8$。则实数$a$的值为4或8。
解析：
解：方程两边同乘$x(x - 2)$，得$3x - a + x = 2(x - 2)$。整理得$x = \frac{a - 4}{2}$。
原分式方程有增根，所以$x = 0$或$x = 2$。
当$x = 0$时，$\frac{a - 4}{2} = 0$，解得$a = 4$；
当$x = 2$时，$\frac{a - 4}{2} = 2$，解得$a = 8$。
故实数$a$的值为$4$或$8$。
11. (4分)已知关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{x + 3}{x - 2}=\frac{k}{(x - 2)(x + 3)}+1$ 的解满足 $-2＜x＜-1$，且 $ k $ 为整数，则符合条件的所有 $ k $ 值之和为
30
。
答案：11. 30 解析：对于分式方程$\frac{x + 3}{x - 2} = \frac{k}{(x - 2)(x + 3)} + 1$，两边同乘$(x - 2)(x + 3)$，得$(x + 3)^{2} = k + (x - 2)(x + 3)$，解得$x = \frac{k - 15}{5}$。因为原分式方程的解满足$- 2 ＜ x ＜ - 1$，且$x\neq 2$，$x\neq - 3$，所以$- 2 ＜ \frac{k - 15}{5} ＜ - 1$，$\frac{k - 15}{5}\neq 2$，$\frac{k - 15}{5}\neq - 3$，解得$5 ＜ k ＜ 10$，且$k\neq 25$，$k\neq 0$。又$k$为整数，所以$k = 6$或7或8或9，即符合条件的所有$k$值之和为$6 + 7 + 8 + 9 = 30$。
解析：
解：方程两边同乘$(x - 2)(x + 3)$，得$(x + 3)^2 = k + (x - 2)(x + 3)$，
展开得$x^2 + 6x + 9 = k + x^2 + x - 6$，
移项合并同类项得$5x = k - 15$，
解得$x = \frac{k - 15}{5}$。
因为原分式方程分母不能为$0$，所以$x \neq 2$且$x \neq - 3$，即$\frac{k - 15}{5} \neq 2$且$\frac{k - 15}{5} \neq - 3$，解得$k \neq 25$且$k \neq 0$。
又因为方程的解满足$-2 ＜ x ＜ -1$，所以$-2 ＜ \frac{k - 15}{5} ＜ -1$，
不等式两边同乘$5$得$-10 ＜ k - 15 ＜ -5$，
移项得$5 ＜ k ＜ 10$。
因为$k$为整数，所以$k = 6$，$7$，$8$，$9$。
符合条件的所有$k$值之和为$6 + 7 + 8 + 9 = 30$。
30
12. (8分)已知关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{1}{x - 4}+\frac{m}{x + 4}=\frac{m + 3}{x^{2}-16}$。
(1) 若该方程有增根，求 $ m $ 的值；
(2) 若该方程无解，求 $ m $ 的值。
答案：12. 对于分式方程$\frac{1}{x - 4} + \frac{m}{x + 4} = \frac{m + 3}{x^{2} - 16}$，两边同乘$x^{2} - 16$，得$x + 4 + m(x - 4) = m + 3$，所以$(m + 1)x = 5m - 1$。
(1)因为该方程有增根，所以$x^{2} - 16 = 0$，即$x = \pm 4$。当$x = 4$时，$4(m + 1) = 5m - 1$，解得$m = 5$；当$x = - 4$时，$- 4(m + 1) = 5m - 1$，解得$m = - \frac{1}{3}$。综上，$m$的值为5或$- \frac{1}{3}$。
(2)因为该方程无解，所以分原分式方程有增根或整式方程$(m + 1)x = 5m - 1$无解。当原分式方程有增根时，由(1)，得$m = 5$或$- \frac{1}{3}$；当整式$(m + 1)x = 5m - 1$无解时，$m + 1 = 0$，$5m - 1\neq 0$，解得$m = - 1$。综上，$m$的值为$- 1$或$- \frac{1}{3}$或5。
13. (4分)一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用.已知甲、乙、丙三辆卡车每次的运货量不变，且甲、乙两车每次运货物的吨数之比为 $ 1:3 $，当甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了120吨；当乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了180吨，则这批货物共有
240
吨。
答案：13. 240 解析：设甲车每次运货物的吨数为$x$，丙车每次运货物的吨数为$y$，则乙车每次运货物的吨数为$3x$。由题意，得$\frac{120}{x} · (x + y) = \frac{180}{3x} · (3x + y)$，解得$y = x$。所以这批货物共有$\frac{120}{x} · (x + y) = 240$吨。
14. (2025·四川成都·10分)2025年8月7日至17日，第12届世界运动会在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱.某文旅中心在售 $ A $，$ B $ 两种吉祥物挂件，已知每个 $ B $ 种挂件的价格是每个 $ A $ 种挂件价格的 $\frac{4}{5}$，用300元购买 $ B $ 种挂件的数量比用200元购买 $ A $ 种挂件的数量多7个.
(1) 求每个 $ A $ 种挂件的价格；
(2) 某游客计划用不超过600元购买 $ A $，$ B $ 两种挂件，且购买 $ B $ 种挂件的数量比 $ A $ 种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个 $ A $ 种挂件.
答案：14. (1)设每个A种挂件的价格为$x$元，则每个B种挂件的价格为$\frac{4}{5}x$元。由题意，得$\frac{300}{\frac{4}{5}x} - \frac{200}{x} = 7$，解得$x = 25$。经检验，$x = 25$是原方程的解，且符合题意。则每个A种挂件的价格为25元。
(2)设该游客购买A种挂件$y$个，则购买B种挂件$(y + 5)$个。由(1)，得每个A种挂件的价格为25元，则每个B种挂件的价格为$\frac{4}{5} × 25 = 20$(元)。由题意，得$25y + 20(y + 5) \leqslant 600$，解得$y \leqslant \frac{100}{9}$。又$y$为整数，所以$y$的最大值为11。则该游客最多购买11个A种挂件。
