1. (3分)计算$\frac{1 + a}{a^{2}} · \frac{a}{a + 1}$的结果是(
D
)
A.$\frac{1}{a^{2}}$
B.$\frac{a + 1}{a}$
C.$\frac{a}{a + 1}$
D.$\frac{1}{a}$
答案：1. D
解析：
$\frac{1 + a}{a^{2}} · \frac{a}{a + 1}=\frac{(1+a)·a}{a^{2}·(a+1)}=\frac{1}{a}$，结果是D。
2. (3分)新素养
运算能力 若$m - n = 2$，则代数式$\frac{m^{2} - n^{2}}{m} · \frac{2m}{m + n}$的值是
4
.
答案：2. 4
解析：
$\begin{aligned}&\frac{m^{2} - n^{2}}{m} · \frac{2m}{m + n}\\=&\frac{(m + n)(m - n)}{m} · \frac{2m}{m + n}\\=&2(m - n)\\\end{aligned}$
因为$m - n = 2$，所以原式$=2×2 = 4$。
4
3. (6分)计算：
(1)$\frac{a}{a^{2} - 1} · \frac{a^{2} + a}{a^{2}}$；
(2)$\frac{2a + 4}{a^{2} - 2a + 1} · \frac{a^{2} - a}{a + 2}$.
答案：3. (1)原式$=\frac {a}{(a + 1)(a - 1)} · \frac {a(a + 1)}{a^{2}} = \frac {1}{a - 1}$．
(2)原式$=\frac {2(a + 2)}{(a - 1)^{2}} · \frac {a(a - 1)}{a + 2} = \frac {2a}{a - 1}$．
4. (3分)化简$\frac{x}{x - y} ÷ \frac{2x}{y^{2} - x^{2}}$的结果是(
D
)
A.$\frac{y - x}{2}$
B.$\frac{x - y}{2}$
C.$\frac{x + y}{2}$
D.$- \frac{x + y}{2}$
答案：4. D
解析：
$\begin{aligned}\frac{x}{x - y} ÷ \frac{2x}{y^{2} - x^{2}}&=\frac{x}{x - y} × \frac{y^{2} - x^{2}}{2x}\\&=\frac{x}{x - y} × \frac{-(x^{2} - y^{2})}{2x}\\&=\frac{x}{x - y} × \frac{-(x - y)(x + y)}{2x}\\&=-\frac{x + y}{2}\end{aligned}$
D
5. (3分)上分点一 若$\frac{
x^{2} + 1}{x - 1} ÷ \frac{x^{3} + x}{□}$的计算结果是整式，则“$□$”表示的式子可能是(
C
)
A.$\frac{1}{x^{2} - 1}$
B.$x^{2} - 1$
C.$x^{2} - x$
D.$x - 1$
答案：5. C
解析：
原式可化为$\frac{x^{2} + 1}{x - 1} × \frac{□}{x^{3} + x}$，即$\frac{(x^{2} + 1) · □}{(x - 1)x(x^{2} + 1)} = \frac{□}{x(x - 1)}$。要使结果为整式，则$□$需能被$x(x - 1)$整除。
选项C：$x^{2} - x = x(x - 1)$，此时$\frac{x(x - 1)}{x(x - 1)} = 1$，为整式。
C
6. (3分)使式子$\frac{m + 4}{m - 5} ÷ \frac{m - 7}{m + 6}$有意义的$m$的取值范围是
$m \neq 5$且$m \neq - 6$且$m \neq 7$
.
答案：6. $m \neq 5$且$m \neq - 6$且$m \neq 7$
解析：
要使式子$\frac{m + 4}{m - 5} ÷ \frac{m - 7}{m + 6}$有意义，需满足：
1. 分母不为零：$m - 5 \neq 0$，即$m \neq 5$；
2. 除数不为零：$\frac{m - 7}{m + 6} \neq 0$，则分子$m - 7 \neq 0$且分母$m + 6 \neq 0$，即$m \neq 7$且$m \neq -6$。
综上，$m$的取值范围是$m \neq 5$且$m \neq -6$且$m \neq 7$。
$m \neq 5$且$m \neq - 6$且$m \neq 7$
7. (6分)新素养 几何
直观 如图，将四张长、宽分别为$a$，$b$的长方形硬纸片拼成一个中间“带孔”（“孔”为小正方形）的大正方形，且拼成的大正方形的面积为49，中间小“孔”的面积为1，求$(a^{4} - b^{4}) ÷ \frac{a^{2} + b^{2}}{ab} ÷ (6a - 6b)$的值.
答案：7. 由题意，得$(a + b)^{2} = 49$，$(a - b)^{2} = 1$，$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$a ＞ b$，所以$(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 48$，$a + b = 7$．所以$a^{2} + 2ab + b^{2} - a^{2} + 2ab - b^{2} = 48$，即$ab = 12$．所以$(a^{4} - b^{4}) ÷ \frac {a^{2} + b^{2}}{ab} ÷ (6a - 6b) = (a^{2} + b^{2})(a + b)(a - b) · \frac {ab}{a^{2} + b^{2}} · \frac {1}{6(a - b)} = \frac {ab(a + b)}{6} = \frac {12 × 7}{6} = 14$．
解析：
由题意，得$(a + b)^2 = 49$，$(a - b)^2 = 1$，$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$a ＞ b$，
所以$a + b = 7$，$(a + b)^2 - (a - b)^2 = 49 - 1 = 48$，
即$a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2) = 48$，
$4ab = 48$，解得$ab = 12$，
$(a^4 - b^4) ÷ \frac{a^2 + b^2}{ab} ÷ (6a - 6b)$
$=(a^2 + b^2)(a + b)(a - b) · \frac{ab}{a^2 + b^2} · \frac{1}{6(a - b)}$
$=\frac{ab(a + b)}{6}$
$=\frac{12×7}{6}$
$=14$
