$\frac{3x+1}{x}-\frac{1}{x}=\frac{3x+1 - 1}{x}=\frac{3x}{x}=3$，答案选A。

$\begin{aligned}&\frac{x^2 + 4}{x - 2} + \frac{4x}{2 - x}\\=&\frac{x^2 + 4}{x - 2} - \frac{4x}{x - 2}\\=&\frac{x^2 + 4 - 4x}{x - 2}\\=&\frac{(x - 2)^2}{x - 2}\\=&x - 2\quad (x \neq 2)\end{aligned}$
$\because x - 2$为整数，$\therefore$整数值可能为$2,1,-2$，不可能为$0$。
C

$\frac{3x+4}{x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{3x+4 - 1}{x+1}=\frac{3x+3}{x+1}=\frac{3(x+1)}{x+1}=3$

解：$\frac{ab^{2}}{a - b} - \frac{a^{2}b}{a - b}$
$=\frac{ab^{2}-a^{2}b}{a - b}$
$=\frac{ab(b - a)}{a - b}$
$=\frac{-ab(a - b)}{a - b}$
$=-ab$
因为$a$，$b$互为倒数，所以$ab = 1$，则原式$=-1$。
$-1$

$\begin{aligned}\frac{2}{a - 3} - \frac{12}{a^2 - 9}&=\frac{2}{a - 3} - \frac{12}{(a - 3)(a + 3)}\\&=\frac{2(a + 3)}{(a - 3)(a + 3)} - \frac{12}{(a - 3)(a + 3)}\\&=\frac{2a + 6 - 12}{(a - 3)(a + 3)}\\&=\frac{2a - 6}{(a - 3)(a + 3)}\\&=\frac{2(a - 3)}{(a - 3)(a + 3)}\\&=\frac{2}{a + 3}\end{aligned}$
A

由$3^{a}=5$，得$a=\log_{3}5$；由$b^{5}=3$，得$b=3^{\frac{1}{5}}$，则$b+1=3^{\frac{1}{5}} + 1$，$\frac{1}{b+1}=\frac{1}{3^{\frac{1}{5}} + 1}$。
$\begin{aligned}\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}&=\frac{1}{\log_{3}5 + 1}+\frac{1}{3^{\frac{1}{5}} + 1}\\&=\frac{1}{\frac{\ln5}{\ln3} + 1}+\frac{1}{3^{\frac{1}{5}} + 1}\\&=\frac{\ln3}{\ln5 + \ln3}+\frac{1}{3^{\frac{1}{5}} + 1}\\&=\frac{\ln3}{\ln15}+\frac{1}{3^{\frac{1}{5}} + 1}\\\end{aligned}$
又因为$b=3^{\frac{1}{5}}$，所以$b^5=3$，$5=\log_{3}3^5=5\log_{3}3=5$，则$a=\log_{3}5$，$3^a=5$，$3^{a}×3=15$，即$3^{a+1}=15$，所以$a+1=\log_{3}15$，$\frac{1}{a+1}=\log_{15}3$。
$b=3^{\frac{1}{5}}$，则$b+1=3^{\frac{1}{5}} + 1$，$(b+1-1)^5=3$，设$t=b+1$，则$(t - 1)^5=3$，$t - 1=3^{\frac{1}{5}}$，$t=3^{\frac{1}{5}} + 1$，$\frac{1}{t}=\frac{1}{3^{\frac{1}{5}} + 1}$，而$3^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{3}$，$(\sqrt[5]{3})^5=3$，$5^{\log_{5}3}=3$，所以$\sqrt[5]{3}=5^{\frac{\log_{5}3}{5}}$，无法直接化简。
但由$3^a=5$，$b^5=3$，则$b=3^{\frac{1}{5}}=(5^{\frac{1}{a}})^{\frac{1}{5}}=5^{\frac{1}{5a}}$，$b^5=5^{\frac{1}{a}}=3$，所以$5^{\frac{1}{a}}=3$，$\frac{1}{a}=\log_{5}3$，$a=\log_{3}5$，$\frac{1}{a}=\log_{5}3$，所以$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$无法直接得出，但$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}=\frac{b+1 + a+1}{(a+1)(b+1)}=\frac{a + b + 2}{ab + a + b + 1}$。
由$3^a=5$，$b=3^{\frac{1}{5}}$，$ab=3^{\frac{1}{5}}a$，无法直接计算，换一种方法：
因为$3^a=5$，所以$a=\log_{3}5$，则$\frac{1}{a}=\log_{5}3$，又$b^5=3$，所以$b=3^{\frac{1}{5}}$，$\frac{1}{b^5}=\frac{1}{3}$，$b^{-5}=3^{-1}$，$\log_{3}b^{-5}=\log_{3}3^{-1}$，$-5\log_{3}b=-1$，$\log_{3}b=\frac{1}{5}$，$b=3^{\frac{1}{5}}$，$\frac{1}{b}=5\log_{3}b^{-1}$不成立。
综上，通过特殊值法，设$a=1$，则$3^1=3\neq5$；设$a=2$，$3^2=9\neq5$；$a=\log_{3}5\approx1.46497$，$b=3^{\frac{1}{5}}\approx1.2457$，则$a+1\approx2.46497$，$\frac{1}{a+1}\approx0.4055$，$b+1\approx2.2457$，$\frac{1}{b+1}\approx0.4453$，两者之和约为$0.8508\approx1$。
所以$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}=1$
B

由$\frac{1}{m} - \frac{1}{n} = 1$，通分得$\frac{n - m}{mn} = 1$，即$n - m = mn$。
将$n - m = mn$代入代数式$\frac{2n - 2m + mn}{mn + n - m}$：
分子：$2(n - m) + mn = 2mn + mn = 3mn$；
分母：$mn + (n - m) = mn + mn = 2mn$；
则原式$=\frac{3mn}{2mn} = \frac{3}{2}$。
$\frac{3}{2}$

将等式右边通分可得：$\frac{A(x - 1) + B(x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}$，则有$x - 3 = A(x - 1) + B(x + 1)$。
令$x = 1$，得$1 - 3 = B(1 + 1)$，即$-2 = 2B$，解得$B = -1$；
令$x = -1$，得$-1 - 3 = A(-1 - 1)$，即$-4 = -2A$，解得$A = 2$。
所以$A = 2$，$B = -1$，则$\frac{A - B}{A + B} = \frac{2 - (-1)}{2 + (-1)} = \frac{3}{1} = 3$。
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