8. (3分)化简分式$\frac{6x^{2} - 12xy + 6y^{2}}{3x - 3y}$需要先约分，则分子和分母的最大公因式是(
C
)
A.$(x - y)$
B.$2(x - y)$
C.$3(x - y)$
D.$6(x - y)$
答案：8. C
解析：
分子：$6x^{2} - 12xy + 6y^{2} = 6(x^{2} - 2xy + y^{2}) = 6(x - y)^{2}$
分母：$3x - 3y = 3(x - y)$
分子和分母的最大公因式是$3(x - y)$
C
9. (3分)上分
点五 如果$\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$，且$a + b \neq 7$，那么$\frac{a - b + 1}{a + b - 7}$的值为(
B
)
A.$\frac{1}{7}$
B.$- \frac{1}{7}$
C.$- 7$
D.7
答案：9. B
解析：
设$a = 3k$，$b = 4k$（$k \neq 0$）。
则$\frac{a - b + 1}{a + b - 7} = \frac{3k - 4k + 1}{3k + 4k - 7} = \frac{-k + 1}{7k - 7} = \frac{-(k - 1)}{7(k - 1)}$。
因为$a + b = 7k \neq 7$，所以$k \neq 1$，即$k - 1 \neq 0$。
因此$\frac{-(k - 1)}{7(k - 1)} = -\frac{1}{7}$。
B
10. (4分)若$m$是实数，且分式$\frac{(x - 2)(x + 3)}{x^{2} + m}$不是最简分式，则$m =$
$-4$或$-9$
.
答案：10. $-4$或$-9$
11. (6分)新素养 抽象能力 已知$a^{2} + b^{2} = (a + b - c)^{2}$，且$b^{2} \neq 0$，化简：$\frac{a^{2} + (a - c)^{2}}{b^{2} + (b - c)^{2}}$.
答案：11. 因为$a^{2}+b^{2}=(a + b - c)^{2}$，所以$a^{2}=(a + b - c)^{2}-b^{2}=(a + b - c + b)(a + b - c - b)=(a + 2b - c)(a - c)$。同理，得$b^{2}=(2a + b - c)(b - c)$。又$b^{2}\neq0$，所以$a^{2}+b^{2}＞0$，即$(a + b - c)^{2}＞0$。所以$a + b - c\neq0$。所以原式$=\frac{(a + b - c)(a - c)+(a - c)^{2}}{(2a + b - c)(b - c)+(b - c)^{2}}=\frac{(a - c)(2a + 2b - 2c)}{(b - c)(2a + 2b - 2c)}=\frac{a - c}{b - c}$。
解析：
因为$a^{2} + b^{2}=(a + b - c)^{2}$，所以$a^{2}=(a + b - c)^{2}-b^{2}=(a + b - c + b)(a + b - c - b)=(a + 2b - c)(a - c)$。同理，$b^{2}=(a + b - c)^{2}-a^{2}=(a + b - c + a)(a + b - c - a)=(2a + b - c)(b - c)$。又$b^{2}\neq0$，所以$a^{2}+b^{2}=(a + b - c)^{2}＞0$，即$a + b - c\neq0$。
原式$=\frac{a^{2}+(a - c)^{2}}{b^{2}+(b - c)^{2}}=\frac{(a + 2b - c)(a - c)+(a - c)^{2}}{(2a + b - c)(b - c)+(b - c)^{2}}$
$=\frac{(a - c)[(a + 2b - c)+(a - c)]}{(b - c)[(2a + b - c)+(b - c)]}=\frac{(a - c)(2a + 2b - 2c)}{(b - c)(2a + 2b - 2c)}=\frac{a - c}{b - c}$。
12. (4分)若$\frac{1}{15} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$，其中$a$，$b$都为正整数，且$a ＜ b$，则满足条件的$a$，$b$一共有(
C
)
A.2组
B.3组
C.4组
D.5组
答案：12. C 解析：因为$\frac{1}{15}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$，$a$，$b$都为正整数，$a ＜ b$，且15的因数有1,3,5,15，所以分类讨论如下：
①$\frac{1}{15}=\frac{3}{15×(1 + 3)}+\frac{1}{15×(1 + 3)}$，此时$a = 20$，$b = 60$；
②$\frac{1}{15}=\frac{1}{15×(1 + 5)}+\frac{5}{15×(1 + 5)}$，此时$a = 18$，$b = 90$；
③$\frac{1}{15}=\frac{3}{15×(3 + 5)}+\frac{5}{15×(3 + 5)}$，此时$a = 24$，$b = 40$；
④$\frac{1}{15}=\frac{1}{15×(1 + 15)}+\frac{15}{15×(1 + 15)}$，此时$a = 16$，$b = 240$；
⑤$\frac{1}{15}=\frac{3}{15×(3 + 15)}+\frac{15}{15×(3 + 15)}$，此时$a = 18$，$b = 90$；
⑥$\frac{1}{15}=\frac{5}{15×(5 + 15)}+\frac{15}{15×(5 + 15)}$，此时$a = 20$，$b = 60$。综上，满足条件的$a$，$b$共有4组。
13. (3分)上分点四 分式$\frac{1}{2ab + 2b^{2}}$与$\frac{2a}{a^{2} - b^{2}}$的最简公分母是
$2b(a + b)(a - b)$
.
答案：13. $2b(a + b)(a - b)$
14. (5分)亮点原创 已知分式$\frac{3}{x^{2} - 16}$与$\frac{1}{20 + 5x}$，其中$m$($m$不为$\pm 1$)是这两个分式中分母的公因式，$n$是这两个分式的最简公分母，则当$\frac{25m}{n}$为正整数时，整数$x$的值为
5或9
.
答案：14. 5或9 解析：由题意，得$m = x + 4$，$n = 5(x + 4)(x - 4)$，则$\frac{25m}{n}=\frac{25(x + 4)}{5(x + 4)(x - 4)}=\frac{5}{x - 4}$。因为$\frac{25m}{n}$为正整数，$x$为整数，且5的因数为1,5，所以$x - 4 = 1$或$x - 4 = 5$，解得$x = 5$或$x = 9$。又$m\neq\pm1$，所以$x + 4\neq\pm1$，解得$x\neq - 5$或$x\neq - 3$。所以整数$x$的值为5或9。
15. (6分)一项工程，甲工程队单独完成需要$(2a - 6)$天，乙工程队单独完成要比甲工程队多8天.写出表示甲、乙两工程队每天完成的工作量的式子.若两式的分母不同，请将两个分式进行通分.
答案：15. 由题意，得甲工程队每天完成的工作量为$\frac{1}{2a - 6}$，乙工程队每天完成的工作量为$\frac{1}{2a + 2}$，$\frac{1}{2a - 6}=\frac{a + 1}{2(a - 3)(a + 1)}$，$\frac{1}{2a + 2}=\frac{a - 3}{2(a - 3)(a + 1)}$。
