9. (3 分)已知 $ (m + 2n)^{2}+2m + 4n + 1 = 0 $，则 $ (m + 2n)^{2026} $ 的立方根为(
C
)
A.-1
B.0
C.1
D.$ \sqrt[3]{2026} $
答案：9．C
解析：
设$ t = m + 2n $，则原方程可化为$ t^{2} + 2t + 1 = 0 $，即$ (t + 1)^{2} = 0 $，解得$ t = -1 $，即$ m + 2n = -1 $。
$ (m + 2n)^{2026} = (-1)^{2026} = 1 $，$ 1 $的立方根为$ \sqrt[3]{1} = 1 $。
C
10. (3 分)若关于 $ x $ 的二次三项式 $ x^{2}-2ax + 36 $ 能用完全平方公式分解因式，则 $ a $ 的值是(
D
)
A.-3
B.$ \pm 3 $
C.6
D.$ \pm 6 $
答案：10．D
解析：
因为二次三项式$x^{2}-2ax + 36$能用完全平方公式分解因式，所以$x^{2}-2ax + 36=(x\pm6)^{2}$。
展开$(x + 6)^{2}=x^{2}+12x + 36$，对比可得$-2a = 12$，解得$a=-6$；
展开$(x - 6)^{2}=x^{2}-12x + 36$，对比可得$-2a=-12$，解得$a = 6$。
综上，$a=\pm6$。
D
11. (3 分)若 $ |p + 2| $ 与 $ q^{2}-8q + 16 $ 互为相反数，则分解因式 $ (x^{2}+y^{2})-(pxy + q) = $
(x + y + 2)(x + y - 2)
.
答案：11．(x + y + 2)(x + y - 2)
解析：
因为$|p + 2|$与$q^2 - 8q + 16$互为相反数，所以$|p + 2| + (q^2 - 8q + 16) = 0$。
$q^2 - 8q + 16 = (q - 4)^2$，则$|p + 2| + (q - 4)^2 = 0$。
因为绝对值和平方数都为非负数，所以$p + 2 = 0$，$q - 4 = 0$，解得$p = -2$，$q = 4$。
将$p = -2$，$q = 4$代入$(x^2 + y^2) - (pxy + q)$得：
$x^2 + y^2 - (-2xy + 4) = x^2 + y^2 + 2xy - 4 = (x + y)^2 - 2^2 = (x + y + 2)(x + y - 2)$
$(x + y + 2)(x + y - 2)$
12. (8 分)上 分 点 三 新趋势
情境素材 下面是某同学对多项式$ (x^{2}-4x + 2)(x^{2}-4x + 6)+4 $分解因式的过程.
解：设 $ x^{2}-4x = y $.
原式 $ = (y + 2)(y + 6)+4 $(第一步)
$ = y^{2}+8y + 16 $(第二步)
$ = (y + 4)^{2} $(第三步)
$ = (x^{2}-4x + 4)^{2} $.(第四步)
阅读上面的解题过程，解答下列问题：
(1)该解题过程中，第二步到第三步运用了因式分解的(
C
)
A. 提公因式法
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学分解因式的结果
不彻底
(填“彻底”或“不彻底”).若不彻底，则分解因式的最后结果是
$(x - 2)^{4}$
(若“彻底”，则第二空无需填写)；
(3)请你模仿以上方法，试着对多项式$ (x^{2}-2x)(x^{2}-2x + 2)+1 $分解因式.
答案：12．(1)C
(2)不彻底$ (x - 2)^{4}$
(3)令$x^{2} - 2x = y，$则原式$ = y(y + 2) + 1 = y^{2} + 2y + 1 = (y + 1)^{2} = (x^{2} - 2x + 1)^{2} = (x - 1)^{4}。$
13. (3 分)已知 $ xy = -1 $，$ x + y = 2 $，则 $ \frac{1}{2}x^{3}y + x^{2}y^{2}+\frac{1}{2}xy^{3} $ 的值为(
A
)
A.-2
B.2
C.-4
D.4
答案：13．A 解析：因为$\frac{1}{2}x^{3}y + x^{2}y^{2} + \frac{1}{2}xy^{3} = \frac{1}{2}xy(x^{2} + 2xy + y^{2}) = \frac{1}{2}xy(x + y)^{2}，$且xy = -1，x + y = 2，所以原式$ = \frac{1}{2}×(-1)×2^{2} = -2。$
14. (8 分)上 分 点 一 新素养 应用意识 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等.将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法.
例如：$ x^{2}-2xy + y^{2}-16=(x - y)^{2}-16=(x - y + 4)(x - y - 4) $.
利用这种分组的思想方法解答下列问题：
(1)分解因式：$ x^{2}-4y^{2}-2x + 4y $；
(2)已知$ \triangle ABC $ 的三边长 $ a $，$ b $，$ c $ 满足 $ a^{2}-b^{2}-ac + bc = 0 $，判断$ \triangle ABC $ 的形状，并说明理由.
答案：14．(1)原式$ = x^{2} - 2x + 1 - (4y^{2} - 4y + 1) = (x - 1)^{2} - (2y - 1)^{2} = (x + 2y - 2)(x - 2y)。$
(2)△ABC是等腰三角形. 理由如下：因为$a^{2} - b^{2} - ac + bc = 0，$所以(a + b)(a - b) - c(a - b) = (a + b - c)(a - b) = 0。又a，b，c是△ABC的三边长，所以a + b ＞ c，即a + b - c ＞ 0。所以a - b = 0，即a = b。所以△ABC是等腰三角形。
