1. (3 分)已知 $ m^{2}-m - 2 = 0 $，则 $ 2m^{3}-3m^{2}-3m + 2025 $ 的值为(
B
)
A.2022
B.2023
C.2024
D.2025
答案：1．B
解析：
由$m^{2}-m - 2 = 0$，得$m^{2}=m + 2$。
$2m^{3}-3m^{2}-3m + 2025$
$=2m· m^{2}-3m^{2}-3m + 2025$
$=2m(m + 2)-3(m + 2)-3m + 2025$
$=2m^{2}+4m - 3m - 6 - 3m + 2025$
$=2m^{2}-2m - 6 + 2025$
$=2(m^{2}-m)-6 + 2025$
因为$m^{2}-m = 2$，所以原式$=2×2 - 6 + 2025 = 4 - 6 + 2025 = 2023$。
B
2. (4 分)分解因式：(1)(2025·江苏镇江)$ x^{2}+5x = $
x(x+5)
；
(2)$ (n - 3)^{2}-(n - 3) = $
(n-3)(n-4)
.
答案：2．(1)x(x+5)
(2)(n-3)(n-4)
3. (3 分)已知把多项式$ (3x - 2)(2x - 5)-(2x - 5)(2x - 3) $分解因式的结果为$ (2x + m)(nx + 1) $，其中 $ m $，$ n $ 均为整数，则 $ m - n $ 的值为
-6
.
答案：3．-6
解析：
$(3x - 2)(2x - 5)-(2x - 5)(2x - 3)$
$=(2x - 5)[(3x - 2)-(2x - 3)]$
$=(2x - 5)(3x - 2 - 2x + 3)$
$=(2x - 5)(x + 1)$
因为分解因式的结果为$(2x + m)(nx + 1)$，所以$m=-5$，$n=1$。
则$m - n=-5 - 1=-6$。
$-6$
4. (6 分)上 分 点 一 已知 $ xy = 15 $，且 $ x^{2}y - xy^{2}-x + y = 28 $.
(1)求 $ x - y $ 的值；
(2)求 $ x^{2}+y^{2} $，$ x + y $ 的值.
答案：4．(1)因为$x^{2}y - xy^{2} - x + y = 28，$所以xy(x - y) - (x - y) = 28，即(xy - 1)(x - y) = 28。又xy = 15，所以14(x - y) = 28，解得x - y = 2。则x - y的值为2。
(2)由(1)，得x - y = 2，且xy = 15，所以$x^{2} + y^{2} = (x - y)^{2} + 2xy = 34。$又$(x + y)^{2} = (x - y)^{2} + 4xy = 64，$所以$x + y = \pm8。$
5. (3 分)新素养
抽象能力 若 $ m $ 为任意整数，则 $ (2m + 6)^{2}-36 $ 的值总能(
B
)
A.被 3 整除
B.被 4 整除
C.被 5 整除
D.被 6 整除
答案：5．B
解析：
$(2m + 6)^{2}-36$
$=(2m + 6)^{2}-6^{2}$
$=(2m + 6 + 6)(2m + 6 - 6)$
$=(2m + 12)(2m)$
$=2(m + 6) · 2m$
$=4m(m + 6)$
因为$m$为整数，所以$4m(m + 6)$是$4$的倍数，即原式总能被$4$整除。
B
6. (3 分)若 $ |m - 1|+(\sqrt{n}-5)^{2}=0 $，则将 $ mx^{2}-ny^{2} $ 分解因式为
(x + 5y)(x - 5y)
.
答案：6．(x + 5y)(x - 5y)
解析：
因为$|m - 1| + (\sqrt{n} - 5)^2 = 0$，且$|m - 1| \geq 0$，$(\sqrt{n} - 5)^2 \geq 0$，所以$m - 1 = 0$，$\sqrt{n} - 5 = 0$，解得$m = 1$，$n = 25$。则$mx^2 - ny^2 = x^2 - 25y^2 = (x + 5y)(x - 5y)$。
7. (4 分)分解因式：(1)$ (y + 2x)^{2}-(x + 2y)^{2}= $
3(x + y)(x - y)
；
(2)$ (m - 4)(m + 1)+3m = $
(m + 2)(m - 2)
.
答案：7．(1)3(x + y)(x - y)
(2)(m + 2)(m - 2)
8. (6 分)上 分 点 二 观察下列式子：
① $ x^{2}-1=(x + 1)(x - 1) $；
② $ x^{3}-1=x^{3}-x + x - 1=x(x^{2}-1)+(x - 1)=(x - 1)(x^{2}+x + 1) $；
③ $ x^{4}-1=x^{4}-x + x - 1=x(x^{3}-1)+(x - 1)=(x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1) $
……
(1)模仿以上做法，分解因式：$ x^{5}-1 = $
$(x - 1)(x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)$
；
(2)观察以上结果，猜想：$ x^{n}-1 = $
$(x - 1)(x^{n - 1} + x^{n - 2} + ··· + x + 1)$
($ n $ 为正整数)；
(3)根据以上结论，试求 $ 9^{6}+9^{5}+9^{4}+9^{3}+9^{2}+9 + 1 $ 的值.
答案：$8．(1)(x - 1)(x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)$
$(2)(x - 1)(x^{n - 1} + x^{n - 2} + ··· + x + 1)$
(3)由(2)，得$x^{n} - 1 = (x - 1)(x^{n - 1} + x^{n - 2} + ··· + x + 1)。$令x = 9，n = 7，则$9^{7} - 1 = (9 - 1)×(9^{6} + 9^{5} + 9^{4} + 9^{3} + 9^{2} + 9 + 1)。$所以$9^{6} + 9^{5} + 9^{4} + 9^{3} + 9^{2} + 9 + 1 = \frac{9^{7} - 1}{8}。$
