14. （12分）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，AE与CF相交于点G，连接GD，且∠1=∠2，∠3=∠4。
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AG=3，DG=5，求四边形ABCD的面积。
答案：14. (1) 因为$CF⊥ AB$，所以$\angle AFG = 90^{\circ}$.因为$\angle1 = \angle2$，$\angle1 = \angle AGF$，所以$\angle AGF = \angle2$.因为$\angle3 = \angle4$，所以$\angle DCG = \angle AFG = 90^{\circ}$.所以$CF⊥ CD$.所以$AB// DC$.因为$AD// BC$，所以四边形$ABCD$为平行四边形.
(2) 因为$AD// BC$，$AE⊥ BC$，所以$AE⊥ AD$，$\angle AEB = 90^{\circ}$.在$Rt\triangle ADG$中，$AG = 3$，$DG = 5$，由勾股定理，得$AD = \sqrt{DG^{2} - AG^{2}} = 4$.由(1)，得四边形$ABCD$为平行四边形，所以$BC = AD = 4$，$AB = DC$.过点$C$作$CH⊥ DG$于点$H$.所以$\angle DHC = 90^{\circ}$，即$\angle AEB = \angle DHC$.因为$\angle3 = \angle4$，所以$\triangle ABE\cong\triangle DCH$（AAS）.所以$BE = CH$，$AE = DH$.因为$\angle1 = \angle2$，$CH⊥ DG$，$CE⊥ AE$，所以$CE = CH$.所以$BE = CE$.又$BE + CE = BC$，所以$BE = CE = 2$.又$CG = CG$，所以$Rt\triangle CGE\cong Rt\triangle CGH$（HL）.所以$GE = GH$.设$GE = GH = x$，则$DH = DG - GH = 5 - x$，$AE = AG + GE = 3 + x$.所以$5 - x = 3 + x$，解得$x = 1$.所以$AE = 4$.所以四边形$ABCD$的面积为$BC· AE = 4×4 = 16$.
15. (18分)新趋势
综合实践 我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助。
(1)如图①，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为“延长DE到点F，使EF=DE，连接CF”，此时DE与DF在同一条直线上，且DE=$\frac{1}{2}$DF。又可证图中的四边形
BCFD
为平行四边形，可得BC与DF的关系是
平行且相等
，于是推导出了“DE//BC，DE=$\frac{1}{2}$BC”；
(2)如图②，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，△BEH是等腰直角三角形，∠EBH=90°，连接CF，CH。求证：CF=$\sqrt{2}$BE；
(3)如图③，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，∠ABC=∠AEF=120°，连接BE，CF。直接写出CF与BE之间的数量关系。
答案：15. (1) BCFD 平行且相等 解析：因为$AE = CE$，$DE = EF$，$\angle AED = \angle CEF$，所以$\triangle AED\cong\triangle CEF$（SAS）.所以$AD = CF$，$\angle ADE = \angle F$，即$BD// CF$.因为$AD = BD$，所以$BD = CF$.所以四边形BCFD是平行四边形.所以$DF = BC$，$DF// BC$.
(2) 因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = BC$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，即$\angle ABE + \angle CBE = 90^{\circ}$.因为$\triangle BEH$是等腰直角三角形，$\angle EBH = 90^{\circ}$，$BE = BH$，$\angle BEH = \angle BHE = 45^{\circ}$，$\angle CBH + \angle CBE = 90^{\circ}$.所以$\angle ABE = \angle CBH$.所以$\triangle ABE\cong\triangle CBH$（SAS）.所以$AE = CH$，$\angle AEB = \angle CHB$.所以$\angle CHE = \angle CHB - \angle BHE = \angle CHB - 45^{\circ} = \angle AEB - 45^{\circ}$.因为四边形$AEFG$是正方形，所以$AE = EF$，$\angle AEF = 90^{\circ}$.所以$EF = CH$.又$\angle AEF + \angle AEB + \angle BEH + \angle FEH = 360^{\circ}$，所以$\angle FEH = 360^{\circ} - \angle AEF - \angle AEB - \angle BEH = 225^{\circ} - \angle AEB$.所以$\angle CHE + \angle FEH = \angle AEB - 45^{\circ} + 225^{\circ} - \angle AEB = 180^{\circ}$.所以$EF// CH$.所以四边形$EFCH$是平行四边形.所以$CF = EH$，即$CF = \sqrt{2}BE$.
(3) $CF = \sqrt{3}BE$. 解析：如图，过点$B$作$BH$，使$\angle EBH = 120^{\circ}$，且$BH = BE$，连接$EH$，$CH$，则$\angle BHE = \angle BEH$.又$\angle BHE + \angle BEH + \angle EBH = 180^{\circ}$，所以$\angle BHE = \angle BEH = 30^{\circ}$.因为$\angle ABC = 120^{\circ}$，所以$\angle ABC = \angle EBH$.所以$\angle ABC - \angle EBC = \angle EBH - \angle EBC$，即$\angle ABE = \angle CBH$.因为四边形$ABCD$和四边形$AEFG$都是菱形，所以$AB = BC$，$AE = EF$.所以$\triangle AEB\cong\triangle CHB$（SAS）.所以$AE = CH$，$\angle AEB = \angle CHB$，即$EF = CH$.所以$\angle CHE = \angle CHB - \angle BHE = \angle AEB - 30^{\circ}$.又$\angle AEF = 120^{\circ}$，$\angle AEF + \angle AEB + \angle BEH + \angle FEH = 360^{\circ}$，所以$\angle FEH = 360^{\circ} - \angle AEF - \angle AEB - \angle BEH = 210^{\circ} - \angle AEB$，即$\angle CHE + \angle FEH = 180^{\circ}$.所以$CH// EF$.所以四边形$EFCH$是平行四边形.所以$CF = EH$.过点$B$作$BN⊥ EH$于点$N$，则$BE = 2BN$，$EH = 2EN$.在$Rt\triangle BEN$中，由勾股定理，得$EN = \sqrt{BE^{2} - BN^{2}} = \sqrt{3}BN$.所以$EH = 2\sqrt{3}BN = \sqrt{3}BE$.所以$CF = \sqrt{3}BE$.
