14. (14分)新趋势
情境素材 课堂上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动。如图①，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD，且量得AB=2 cm，AC=4 cm。
(1)将图①中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转α，使α=∠BAC，得到如图②所示的△AC'D，过点C作AC'的平行线，与DC'的延长线交于点E，则四边形ACEC'的形状是
菱形
；
(2)创新小组将图①中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图③所示的△AC'D，连接CC'，取CC'的中点F，连接AF并延长至点G，使FG=AF，连接CG，C'G，得到四边形ACGC'，发现它是正方形，请你证明这个结论。
答案：14. (1)菱形
(2)在题图①中，因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle BAD=90^{\circ}$，即$\angle BAC+\angle DAC=90^{\circ}$.由旋转的性质，得$\angle DAC'=\angle DAC$，$AC=AC'$，所以$\angle BAC+\angle DAC'=90^{\circ}$.因为$D$，$A$，$B$三点在同一条直线上，所以$\angle CAC'=180^{\circ}-\angle BAC-\angle DAC'=90^{\circ}$.因为$F$是$CC'$的中点，所以$AG⊥ CC'$，$CF=C'F$.因为$AF=FG$，所以四边形$ACGC'$是平行四边形.因为$AG⊥ CC'$，所以平行四边形$ACGC'$是菱形.因为$\angle CAC'=90^{\circ}$，所以菱形$ACGC'$是正方形.
15. （14分）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ADC=90°，AB=18 cm，BC=13 cm，CD=23 cm，动点P从点A出发，以1 cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2 cm/s的速度沿折线B-C-D向终点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t s。
（1）用含t的代数式表示PB的长；
（2）连接PQ，当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中一部分是平行四边形？
（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻的四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？
答案：15. (1)由题意，得$PB=(18 - t)\mathrm{cm}$.
(2)因为$BC=13\mathrm{cm}$，所以当点$Q$到达点$C$时，$t=13÷2=6.5$.又$CD=23\mathrm{cm}$，所以$BC + CD = 36\mathrm{cm}$，即当点$Q$到达点$D$时，$t=36÷2=18$.因为$AB// CD$，所以易得当$6.5＜t\leqslant18$时，点$Q$在边$CD$上，此时直线$PQ$可以把四边形$ABCD$分成两个部分，使其中一部分是平行四边形.分类讨论如下：①如图①，当四边形$PQCB$是平行四边形时，$PB=CQ$.由(1)，得$PB=(18 - t)\mathrm{cm}$.又$BC + CQ = 2t\mathrm{cm}$，所以$QC=(2t - 13)\mathrm{cm}$.所以$18 - t = 2t - 13$，解得$t=\frac{31}{3}$；②如图②，当四边形$ADQP$是平行四边形时，$AP=DQ$.由题意，得$AP=t\mathrm{cm}$.又$DQ=BC + CD - 2t=(36 - 2t)\mathrm{cm}$，所以$t=36 - 2t$，解得$t=12$.综上，当$t=\frac{31}{3}$或$12$时，直线$PQ$把四边形$ABCD$分成两个部分，且其中一部分是平行四边形.
(3)设点$Q$的速度为$x\mathrm{cm/s}$.易得当点$Q$在边$CD$上时，四边形$PBCQ$可为菱形，此时$PB=BC=CQ$.由(1)，得$PB=(18 - t)\mathrm{cm}$.又$BC=13\mathrm{cm}$，$CQ=(xt - 13)\mathrm{cm}$，所以$18 - t = 13$，$xt - 13 = 13$，解得$t=5$，$x=5.2$.所以当点$Q$的运动速度为$5.2\mathrm{cm/s}$时，四边形$PBCQ$为菱形.
