4. (12分)新趋势
推导探究 如图①，将正方形ABCD与正方形AEFG放置在一起，使AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上.连接DG，BE，易证$DG=BE$且$DG⊥ BE$.
(1) 在同一平面内，若小明将正方形ABCD与正方形AEFG按如图②所示的方式放置，连接DG，BE，试判断DG与BE之间的关系，并给出证明；
(2) 如图③，在(1)的条件下，连接BG，GE，ED，DB，分别取BG，GE，ED，DB的中点M，N，P，Q，连接MN，NP，PQ，QM，则四边形MNPQ的形状为
正方形
.如果$BE=6$，那么四边形MNPQ的面积为
9
.
答案：4.(1)DG=BE且DG⊥BE.证明如下：设AG与BE交于点H，DG与BE交于点K.因为四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，所以AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG=90°.所以∠DAB+∠BAG=∠EAG+∠BAG，即∠DAG=∠BAE.所以△DAG≌△BAE(SAS).所以DG=BE，∠AGD=∠AEB.又∠AHE+∠AEB=180°-∠EAG=90°，且∠AHE=∠KHG，所以∠KHG+∠AGD=90°，即∠DKE=90°.所以DG⊥BE.
(2)正方形 9 解析：因为M，N，P，Q分别为BG，GE，ED，DB的中点，所以MN=$\frac{1}{2}$BE，MN//BE，NP=$\frac{1}{2}$DG，NP//DG，PQ=$\frac{1}{2}$BE，QM=$\frac{1}{2}$DG，即MN=PQ，NP=QM.由(1)，得BE=DG，DG⊥BE.所以MN=PQ=NP=QM，MN⊥NP.所以四边形MNPQ为正方形.又BE=6，所以PQ=3.所以四边形MNPQ的面积为$PQ^{2}=9$.
5. (12分)如图，在矩形ABCD中，$AB=6$，$BC=8$，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C两点同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为$t$秒，其中$0\leqslant t\leqslant 10$.
(1) 若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E，F两点相遇时除外）？请说明理由；
(2) 在(1)的条件下，若四边形EGFH为矩形，求$t$的值；
(3) 在(1)的条件下，若点G由边AD的中点向终点D运动，点H由边BC的中点向终点B运动，且与E，F两点以相同的速度同时出发，则当四边形EGFH为菱形时，求$t$的值.
答案：5.(1)平行四边形.理由如下：由题意，得AE=CF=t.因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=90°，AD//BC，AD=BC.所以∠GAE=∠HCF.因为G，H分别是AD，BC的中点，所以AG=$\frac{1}{2}$AD，CH=BH=$\frac{1}{2}$BC.所以AG=CH=BH.所以△AEG≌△CFH(SAS).所以EG=FH，∠AEG=∠CFH.所以∠FEG=∠EFH，即EG//FH.所以四边形EGFH是平行四边形.
(2)连接GH.由(1)，得AG=BH，AG//BH，∠B=90°，所以四边形ABHG是矩形.又AB=6，所以GH=AB=6.在Rt△ABC中，BC=8，由勾股定理，得AC=$\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=10$.如图①，在E，F两点相遇之前，当四边形EGFH是矩形时，EF=GH=6.因为AE=CF=t，所以EF=10-2t，即10-2t=6，解得t=2;如图②，在E，F两点相遇之后，当四边形EGFH是矩形时，EF=GH=6.因为AE=CF=t，所以EF=AE+CF-AC=2t-10，即2t-10=6，解得t=8.综上，当四边形EGFH为矩形时，t=2或8.
(3)如图③，连接AH，CG，GH，设AC与GH交于点O，M为边AD的中点，N为边BC的中点，则AM=$\frac{1}{2}$AD，CN=$\frac{1}{2}$BC.因为四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=8.所以AD//BC，∠D=90°，AD=BC=8，CD=AB=6，即AM=CN=4.由题意，得MG=HN=t，0≤t≤4，则AG=CH=t+4.所以四边形AHCG是平行四边形.易得当E，F两点相遇时，t=5，且4＜t≤5，所以只有0≤t≤4一种情况.又四边形EGFH是菱形，所以EF⊥HG，即AC⊥HG.所以平行四边形AHCG是菱形，即CG=AG=4+t.所以DG=AD-AG=4-t.在Rt△CDG中，由勾股定理，得$CD^{2}+DG^{2}=CG^{2}$，所以$6^{2}+(4-t)^{2}=(4+t)^{2}$，解得t=$\frac{9}{4}$.所以当四边形EGFH是菱形时，t=$\frac{9}{4}$.
