9. (3分)某同学的卧室地面形状是一个如图所示的四边形,现在量得AB=BC,∠B=∠D=90°.若点B到CD的距离为4m,则该同学的卧室地面的面积为
16
m².
答案：9. 16
解析：
解：过点B作BE⊥CD于点E，BF⊥AD交AD延长线于点F。
∵∠D=90°，BE⊥CD，BF⊥AD，
∴四边形BEDF为矩形，∠EBF=90°。
∵∠ABC=90°，
∴∠ABF=∠CBE。
∵AB=BC，∠AFB=∠CEB=90°，
∴△ABF≌△CBE（AAS），
∴BF=BE=4m，S△ABF=S△CBE。
卧室地面面积=S矩形BEDF+S△ABF+S△BCE=S矩形BEDF=BE×BF=4×4=16m²。
16
10. (3分)如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,连接AE,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°到△ABF的位置,连接EF,过点A作EF的垂线,垂足为H,与BC交于点G.若BG=3,CG=2,则CE的长为
$\frac{15}{4}$
.
答案：10. $\frac{15}{4}$
11. (4分)亮点原创·如图,在矩形ABCD中,BC=4,AB=6,对角线AC,BD交于点O,E,F分别是CD,DA延长线上的点,且DE=3,AF=2,连接EF,G为EF的中点,连接OE,交AD于点H,连接GH,则GH=
$\frac{5}{2}$
.
答案：11. $\frac{5}{2}$
解析：
解：以点$D$为原点，$DC$所在直线为$x$轴，$DA$所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系。
则各点坐标为：$D(0,0)$，$C(6,0)$，$A(0,4)$，$B(6,4)$。
$\because DE=3$，$AF=2$，
$\therefore E(-3,0)$，$F(0,6)$。
$\because O$为矩形$ABCD$对角线交点，
$\therefore O$为$AC$中点，$A(0,4)$，$C(6,0)$，故$O(3,2)$。
设直线$OE$的解析式为$y=kx+b$，将$O(3,2)$，$E(-3,0)$代入：
$\begin{cases}3k + b = 2 \\ -3k + b = 0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = \dfrac{1}{3} \\ b = 1\end{cases}$，
$\therefore$直线$OE$：$y = \dfrac{1}{3}x + 1$。
令$x=0$，得$y=1$，$\therefore H(0,1)$。
$\because G$为$EF$中点，$E(-3,0)$，$F(0,6)$，
$\therefore G(\dfrac{-3 + 0}{2},\dfrac{0 + 6}{2})=(-\dfrac{3}{2},3)$。
$\because H(0,1)$，$G(-\dfrac{3}{2},3)$，
$\therefore GH = \sqrt{(-\dfrac{3}{2}-0)^{2}+(3 - 1)^{2}} = \sqrt{(\dfrac{9}{4})+4} = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2}$。
$\dfrac{5}{2}$
12. (4分)如图,P是正方形ABCD外部一点,连接PA,PB,PC.若PA=3,PB=1,PC=√{11},则∠APB的度数为
$45^{\circ}$
.
答案：12. $45^{\circ}$ 解析：如图，将$\triangle BPC$绕点$B$按逆时针方向旋转$90^{\circ}$，得$\triangle BP'A$，连接$PP'$。由题意，得$P'A=PC=\sqrt{11}$，$P'B=PB=1$，$\angle PBP'=90^{\circ}$。所以$\triangle PBP'$是等腰直角三角形，即$\angle P'PB=45^{\circ}$。在$Rt\triangle PBP'$中，由勾股定理，得$PP'=\sqrt{P'B^{2}+PB^{2}}=\sqrt{2}$。因为$PA=3$，$PP'=\sqrt{2}$，$P'A=\sqrt{11}$，所以$PA^{2}+PP'^{2}=P'A^{2}$。所以$\triangle P'AP$为直角三角形，且$\angle APP'=90^{\circ}$。所以$\angle APB=\angle APP'-\angle P'PB=45^{\circ}$。
13. (4分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是线段OB,OA上的点.若AE=BF,AB=5,AF=1,BE=3,则BF的长为
$\sqrt{22}$
.
答案：13. $\sqrt{22}$ 解析：过点$A$作$AN⊥ BD$于点$N$，过点$B$作$BM⊥ AC$于点$M$，则$\angle ANO=\angle ANB=\angle BMO=\angle BMA=90^{\circ}$。因为四边形$ABCD$是矩形，所以$OB=\frac{1}{2}BD$，$OA=\frac{1}{2}AC$，$AC=BD$，即$OB=OA$。因为$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OB· AN=\frac{1}{2}OA· BM$，所以$AN=BM$。因为$AE=BF$，所以$Rt\triangle ANE\cong Rt\triangle BMF(HL)$。所以$EN=FM$。设$FM=EN=x$。因为$AF=1$，$BE=3$，所以$BN=3 - x$，$AM=1 + x$。又$AB=BA$，所以$Rt\triangle ABN\cong Rt\triangle BAM(HL)$。所以$BN=AM$，即$3 - x=1 + x$，解得$x=1$。所以$FM=1$，即$AM=2$。在$Rt\triangle ABM$中，$AB=5$，由勾股定理，得$BM=\sqrt{AB^{2}-AM^{2}}=\sqrt{21}$。在$Rt\triangle BMF$中，由勾股定理，得$BF=\sqrt{FM^{2}+BM^{2}}=\sqrt{22}$。则$BF$的长为$\sqrt{22}$。
解析：
解：过点$A$作$AN ⊥ BD$于点$N$，过点$B$作$BM ⊥ AC$于点$M$，则$\angle ANO = \angle ANB = \angle BMO = \angle BMA = 90°$。
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$OB = \frac{1}{2}BD$，$OA = \frac{1}{2}AC$，且$AC = BD$，故$OB = OA$。
∵$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}OB · AN = \frac{1}{2}OA · BM$，
∴$AN = BM$。
∵$AE = BF$，
∴$Rt\triangle ANE \cong Rt\triangle BMF(HL)$，
∴$EN = FM$。设$FM = EN = x$。
∵$AF = 1$，$BE = 3$，
∴$BN = 3 - x$，$AM = 1 + x$。
又$AB = BA$，
∴$Rt\triangle ABN \cong Rt\triangle BAM(HL)$，
∴$BN = AM$，即$3 - x = 1 + x$，解得$x = 1$。
∴$FM = 1$，$AM = 2$。
在$Rt\triangle ABM$中，由勾股定理得$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{21}$。
在$Rt\triangle BMF$中，由勾股定理得$BF = \sqrt{FM^2 + BM^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{21})^2} = \sqrt{22}$。
$\sqrt{22}$
14. (2025·陕西·4分)新素养
推理能力 如图,在□ABCD中,AB=6,AD=8,∠B=60°,动点M,N分别在边AB,AD上,且AM=AN,连接MN,以MN为边作等边三角形MNP,使点P始终在□ABCD的内部或边上.当△MNP的面积最大时,DN的长为
5
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答案：14. 5 解析：如图，连接$AP$并延长，交$BC$于点$P'$，过点$P'$分别作$P'M'// PM$，交$AB$于点$M'$，$P'N'// PN$，交$AD$于点$N'$，连接$M'N'$。因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD=BC$，$AD// BC$，即$\angle B+\angle BAD=180^{\circ}$。又$\angle B=60^{\circ}$，所以$\angle BAD=180^{\circ}-\angle B=120^{\circ}$。又$\triangle MNP$是等边三角形，所以$MP=NP$，$\angle MPN=60^{\circ}$。又$AM=AN$，$AP=AP$，所以$\triangle AMP\cong\triangle ANP(SSS)$。所以$\angle MAP=\angle NAP=\frac{1}{2}\angle BAD=60^{\circ}$，$\angle APN=\angle APM=\frac{1}{2}\angle MPN=30^{\circ}$。所以点$P$在$\angle BAC$的平分线上运动，当点$P$落在边$BC$上时，$\triangle MNP$的面积最大，此时$P$，$P'$两点重合。因为$\angle BAP'=\angle B=60^{\circ}$，所以$\angle BP'A=180^{\circ}-\angle B-\angle BAP'=60^{\circ}$，即$\triangle ABP'$是等边三角形。又$AB=6$，所以$AP'=AB=6$。又$P'N'// PN$，所以$\angle AP'N'=\angle APN=30^{\circ}$。所以$\angle BP'N'=\angle AP'B+\angle AP'N'=90^{\circ}$。又$AD// BC$，所以$\angle AN'P'=180^{\circ}-\angle BP'N'=90^{\circ}$，即$AN'=\frac{1}{2}AP'=3$。又$AD=8$，所以$DN'=AD - AN'=5$，即当$\triangle MNP$的面积最大时，$DN'$的长为$5$。
15. (2025·江苏南京期末·4分)如图,在菱形ABCD中,AB=10,∠B=60°,E是边AD上一点,且AE=2,F是边CD上一个动点,以EF为边作等边三角形EFG,连接CG.若CG的长为d,则d的取值范围是
$\sqrt{3}\leq d\leq\sqrt{84}$
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答案：15. $\sqrt{3}\leq d\leq\sqrt{84}$ 解析：如图，在$CD$上截取$DQ=DE$，连接$EQ$，$QG$，延长$QG$交$AB$于点$N$，连接$CN$，过点$C$作$CM⊥ NQ$于点$M$。因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB=AD=BC=CD$，$AB// CD$，$AD// BC$，$\angle B=\angle D$。因为$AB=10$，$AE=2$，$\angle B=60^{\circ}$，所以$AD=BC=CD=10$，$\angle D=60^{\circ}$，$DQ=DE=AD - AE=8$。所以$\triangle DEQ$是等边三角形。所以$EQ=DE=8$，$\angle DEQ=60^{\circ}$。因为$\triangle EFG$是等边三角形，所以$EG=EF$，$\angle GEF=60^{\circ}$。所以$\angle DEQ - \angle FEQ=\angle GEF - \angle FEQ$，即$\angle DEF=\angle QEG$。所以$\triangle DEF\cong\triangle QEG(SAS)$。所以$\angle EQG=\angle D=60^{\circ}$，即$\angle EQG=\angle DEQ=60^{\circ}$。所以$AD// NQ$。所以$\angle NQC=\angle D=60^{\circ}$，即点$G$在线段$NQ$上运动。又$AD// BC$，所以$NQ// BC$。又$AB// CD$，所以四边形$BNQC$是平行四边形。所以$NQ=BC=10$，$BN=CQ=2$，即$AN=AB - BN=8$。又$\angle MCQ=90^{\circ}-\angle NQC=30^{\circ}$，所以$MQ=\frac{1}{2}CQ=1$。在$Rt\triangle CMQ$中，由勾股定理，得$CM=\sqrt{CQ^{2}-MQ^{2}}=\sqrt{3}$。所以$MN=NQ - MQ=9$。在$Rt\triangle CMN$中，由勾股定理，得$CN=\sqrt{CM^{2}+MN^{2}}=\sqrt{84}$。连接$EN$，$CE$。又$AD// BC$，所以$\angle A+\angle B=180^{\circ}$，即$\angle A=180^{\circ}-\angle B=120^{\circ}$。又$\angle EQC=\angle EQG+\angle NQC=120^{\circ}$，所以$\angle A=\angle EQC$。又$AN=QE=8$，$AE=QC=2$，所以$\triangle AEN\cong\triangle QCE(SAS)$。所以$\angle ANE=\angle QEC$，$EN=CE$。又$\angle ANE+\angle AEN=180^{\circ}-\angle A=60^{\circ}$，所以$\angle QEC+\angle AEN=60^{\circ}$，即$\angle NEC=180^{\circ}-\angle AEN-\angle QEC-\angle DEQ=60^{\circ}$。所以$\triangle CEN$是等边三角形。又$F$是边$CD$上一动点，所以当$D$，$F$两点重合时，$G$，$Q$两点重合；当$F$，$C$两点重合时，$N$，$G$两点重合。所以当$G$，$M$两点重合时，$CG$的长最小，且最小值为$CM$的长，即$\sqrt{3}$；当$G$，$N$两点重合时，$CG$的长最大，且最大值为$CN$的长，即$\sqrt{84}$。又$CG$的长为$d$，所以$d$的取值范围为$\sqrt{3}\leq d\leq\sqrt{84}$。
