7. (12分)上分点二 新素养
模型观念(1) 如图①，P是线段AB的中点，分别以AP和BP为边在线段AB的同侧作等边三角形APC和等边三角形BPD，连接CD，得到四边形ABDC，顺次连接边AC，AB，BD，CD的中点E，F，G，H，则四边形EFGH的形状是
菱形
；
(2) 如图②，若P是线段AB上任意一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，得四边形ABDC，其他条件不变，则(1)中的结论还成立吗? 说明理由；
(3) 如图③，若P是线段AB外一点，在△APB的外部作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，且∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，请你先补全图③，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由。
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答案：7. (1)菱形 解析:连接AD,BC.由三角形的中位线定理,得EH//FG//AD,EH=FG= $\frac {1}{2}$AD,EF= $\frac {1}{2}$BC,所以四边形EFGH是平行四边形.易得△APD≌△CPB(SAS),则AD=BC.所以EH=EF.所以四边形EFGH是菱形.
(2)(1)中的结论仍成立,即四边形EFGH为菱形.理由如下:如图①,连接AD,BC.因为∠APC=∠BPD,所以∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD,即∠APD=∠CPB.又PC=PA,PD=PB,所以△APD≌△CPB(SAS).所以AD=CB.因为E为AC的中点,H为CD的中点,所以EH为△ACD的中位线.所以EH=$\frac {1}{2}$AD,EH//AD.同理,得FG=$\frac {1}{2}$AD,FG//AD,HG=$\frac {1}{2}$BC.所以EH=FG,EH//FG,且EH=HG.所以四边形EFGH为菱形.
(3)补全图形如图②,四边形EFGH为正方形.理由如下:连接AD,BC.设AD,BC相交于点N,AD,PC相交于点Q.因为∠APC=∠BPD=90°,所以∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD,即∠APD=∠CPB.又PA=PC,PD=PB,所以△APD≌△CPB(SAS).所以AD=CB,∠DAP=∠BCP.因为E为AC的中点,H为CD的中点,所以EH为△ACD的中位线.所以EH=$\frac {1}{2}$AD,EH//AD.同理,得FG=$\frac {1}{2}$AD,FG//AD,HG=$\frac {1}{2}$BC,HG//BC.所以EH=FG,EH//FG,且EH=HG.所以四边形EFGH为菱形.因为△APQ与△CNQ的内角和均为180°,∠AQP=∠CQN,所以∠CNQ=∠APQ=90°.所以AD⊥BC.所以EH⊥HG.所以菱形EFGH为正方形.
